№1 Найти длину стороны квадрата и радиус вписанной в него окружности, если радиус окружности, описанной около квадрата, равен

Задача №1. Нам дан радиус окружности, описанной около квадрата. Мы хотим найти длину стороны квадрата и радиус вписанной в него окружности.
Для начала, давайте рассмотрим связь между радиусом окружности, описанной около квадрата (R) и длиной стороны квадрата (a). Обратите внимание, что каждая сторона квадрата является диаметром окружности, описанной около него. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: a = 2R.

Теперь, чтобы найти радиус вписанной в квадрат окружности (r), мы можем использовать тот факт, что диагональ квадрата является диаметром вписанной окружности. В данном случае, мы знаем, что диагональ равна двум радиусам окружности, описанной около квадрата. Таким образом, можем записать следующее уравнение: a√2 = 2r.

Теперь, мы можем решить задачу.
Для начала, найдем длину стороны квадрата (a):
a = 2R = 2 * (5√2 см) = 10√2 см.

Затем найдем радиус вписанной в квадрат окружности (r):
a√2 = 2r,
10√2 см * √2 = 2r,
20 см = 2r,
r = 10 см.

Таким образом, длина стороны квадрата равна 10√2 см, а радиус вписанной в него окружности равен 10 см.

Задача №2. Нам дана сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, и мы хотим найти длину стороны квадрата, вписанного в эту же окружность.
Правильный треугольник является равносторонним, поэтому все его стороны равны. Таким образом, сторона квадрата будет равна стороне треугольника.
Зная, что сторона правильного треугольника равна √6 см, мы можем заключить, что длина стороны квадрата равна √6 см.

Задача №3. Нам дана разность радиусов окружностей, вписанной в правильный треугольник и описанной около него, и мы хотим найти значения этих радиусов.

Пусть r1 и r2 будут радиусами вписанной и описанной окружностей соответственно. Согласно информации, данной в задаче, разность этих радиусов равна 8 см: r2 — r1 = 8.

Так как за радиус описанной окружности принято обозначать r2, а за радиус вписанной окружности — r1, то рассмотрим ситуацию, в которой радиус описанной окружности больше радиуса вписанной окружности.

Известно, что радиус описанной окружности в правильном треугольнике равен половине длины его стороны, а радиус вписанной окружности равен половине высоты треугольника. Таким образом, можем записать следующие уравнения:

r2 = (3√3)/2 * a, где а — длина стороны треугольника,
r1 = (√3/6) * a.

Теперь, подставим эти формулы в уравнение разности радиусов:

r2 — r1 = (3√3)/2 * a — (√3/6) * a = 8.

Решив это уравнение, мы сможем узнать значения радиусов.

Совет: Для более понятного решения подобных задач по геометрии, полезно визуализировать фигуры и использовать наши знания о свойствах квадратов и окружностей.

Задание: В равностороннем треугольнике со стороной 10 см найти радиусы вписанной в него и описанной окружностей.