1. Calculate: 1) f(5) and f(-1); 2) find the function’s zeros. 2. Determine the domain of the function f(x) = (x

Объяснение:
1. Чтобы решить первую задачу, вычисляем f(5) и f(-1):
— Для f(5): подставляем x = 5 в данную функцию и вычисляем значение: f(5) = (5 + 6)/(5^2 — 3*5 — 4) = 11/6.
— Для f(-1): подставляем x = -1 в данную функцию и вычисляем значение: f(-1) = (-1 + 6)/((-1)^2 — 3*(-1) — 4) = 5/3.
Чтобы найти нули функции, решаем уравнение f(x) = 0:
— В данной функции: (x + 6)/(x^2 — 3x — 4) = 0.
Нули функции находятся при x = -6 и x = 1.

2. Определим область определения функции f(x) = (x + 6)/(x^2 — 3x — 4):
— Область определения — это множество значений x, для которых функция определена и не содержит деления на ноль. В данной функции, чтобы избежать деления на ноль, нужно исключить значения x, при которых x^2 — 3x — 4 = 0.
Решим квадратное уравнение x^2 — 3x — 4 = 0, получим x = -1 и x = 4.
Область определения функции f(x) = (x + 6)/(x^2 — 3x — 4) будет состоять из всех действительных чисел, кроме x = -1 и x = 4.

3. Построим график функции f(x) = x^2 — 8x + 7 и найдем:
— Область значений функции (range) — это множество значений y, которые функция может принимать. График функции позволяет нам определить это множество. В данном случае, график функции — парабола с вершиной вверх, и область значений будет состоять из всех чисел y, меньших или равных значению y-координаты вершины параболы.
— Интервал возрастания функции — это множество значений x, при которых функция возрастает. На графике, интервал возрастания будет состоять из всех значений x, где график функции идет вверх.
— Найдем решение неравенства f(x) > 0: Для этого, на графике функции мы ищем все значения x, где график находится выше оси x.

4. Построим графики функций:
1) f(x) = √x + 2.
2) f(x) = √[x + 2].
График первой функции будет представлять положительный корень квадратный из x, сдвинутый влево на 2 единицы.
График второй функции будет представлять положительный корень квадратный из (x + 2), сдвинутый по оси x влево на 2 единицы.

5. Найдем область определения функции f(x) = √[x + 3] + 8/(x^2 — 36):
В данной функции, чтобы избежать деления на ноль, нужно исключить значения x, при которых x^2 — 36 = 0. Решим это уравнение и получим x = -6 и x = 6.
Кроме того, функция включает корень квадратный из (x + 3), и чтобы корень существовал, выражение (x + 3) должно быть неотрицательным. Это значит, что x + 3 >= 0, и x >= -3.
Таким образом, область определения функции будет состоять из всех x, где x >= -3 и x != -6 и x != 6.

6. Найдем значения b и c, при которых вершина параболы y = -4x^2 + bx + c находится в точке A(3, 1):
Вершина параболы имеет координаты x = -b/(2a) и y = f(-b/(2a)), где a, b, c — коэффициенты параболы y = ax^2 + bx + c.
Подставим x = 3 и y = 1 в уравнение параболы и получим два уравнения:
1 = -4*3^2 + 3b + c,
1 = f(-b/(2a)).
Решим первое уравнение относительно c: c = 1 + 36 — 9b.
Подставим выражение для c во второе уравнение и получим что -b/(2a) = 3 или b = -6a.
Подставим это значение b в выражение для c и получим c = 1 + 36 + 54a.
Таким образом, вершина параболы будет в точке A(3, 1) при b = -6a и c = 1 + 36 + 54a.

Пример использования:
1. Решение первой задачи:
1) f(5):
f(5) = (5 + 6)/(5^2 — 3*5 — 4) = 11/6.

2) f(-1):
f(-1) = (-1 + 6)/((-1)^2 — 3*(-1) — 4) = 5/3.

3) Нахождение нулей функции:
Для нулей функции решаем уравнение f(x) = 0:
(x + 6)/(x^2 — 3x — 4) = 0.
Нули функции: x = -6 и x = 1.

2. Определение области определения:
f(x) = (x + 6)/(x^2 — 3x — 4).
Область определения: все действительные числа, кроме x = -1 и x = 4.

3. График функции f(x) = x^2 — 8x + 7:
1) Область значений (range): все значения y, меньшие или равные значению y-координаты вершины параболы.
2) Интервал возрастания: значения x, при которых график идет вверх.
3) Решение неравенства f(x) > 0: значения x, при которых график находится выше оси x.

4. Построение графиков функций:
1) f(x) = √x + 2.
2) f(x) = √[x + 2].

5. Определение области определения:
f(x) = √[x + 3] + 8/(x^2 — 36).
Область определения: x >= -3 и x != -6 и x != 6.

6. Нахождение значений b и c:
Вершина параболы y = -4x^2 + bx + c в точке A(3, 1).
b = -6a и c = 1 + 36 + 54a.

Совет: Для более легкого понимания и изучения функций, регулярно выполняйте упражнения и просите помощи у учителей или одногруппников при возникновении затруднений. Знание основ функций поможет вам в дальнейшем изучении математики и общего понимания различных проблем.

Упражнение: Найдите нули функции f(x) = 2x^2 — 5x — 3.