1. Determine: a) the velocity increment δv, b) the magnitude of the velocity increment │δv│, c) the increment of the velocity
2. The motion of two material points is described by the equations x1 = a1 + b1t + c1t2 and x2 = a2 + b2t + c2t2, where a1 = 20 m, a2 = 2 m, v1 = v2 = 2 m/s, c1 = 4 m/s2, and c2 = 0.5 m/s2. At what moment in time t will the velocities of these points be equal? Determine the velocities v1 and v2 and the accelerations a1 and a2 of the points at this moment.
3. A wheel is rotating with a constant angular acceleration ε = 3 rad/s2. Determine the radius of the wheel if at t = 1 s from the start of motion, the total acceleration of a point on the rim of the wheel is a = 7.5 m/s2.
4. Two identical carts with mass m each move one behind the other with the same velocity v0. At some point in time, a person with mass m, located on the rear cart, jumps forward with a velocity u relative to their cart. Determine the velocity v1 of the front cart.
5. A thin homogeneous rod with a length l = 50 cm and a mass m = 400 g rotates with an angular acceleration ε = 3 rad/s2 about an axis passing perpendicular to the rod through its center. Determine the torque m.
6. A hollow thin-walled cylinder rolls along a horizontal section of a road with a velocity v = 1.5 m/s. Determine the distance it will travel uphill using its kinetic energy, given that the slope of the hill is 5 m for every 100 m of distance.
Описание: Для решения задачи, необходимо знать понятия скорости и приращения скорости. Скорость — это векторная величина, описывающая изменение положения тела в единицу времени. Приращение скорости — это разница между начальной и конечной скоростью тела.
a) Чтобы найти приращение скорости δv, мы вычитаем начальную скорость v1 из конечной скорости v2: δv = v2 — v1. В данном случае, начальная скорость v1 = 1i + 3j + 5k (m/s), а конечная скорость v2 = 2i + 4j + 6k (m/s). Подставляя значения, получаем: δv = (2i + 4j + 6k) — (1i + 3j + 5k) = 1i + 1j + 1k.
b) Для определения модуля приращения скорости │δv│, мы вычисляем длину вектора δv: │δv│ = sqrt((1)^2 + (1)^2 + (1)^2) = sqrt(3) ≈ 1.732 (m/s).
c) Чтобы найти приращение модуля скорости δv, мы вычитаем начальную модуль скорости │v1│ из конечного модуля скорости │v2│: δv = │v2│ — │v1│. В данном случае, начальный модуль скорости │v1│ = sqrt((1)^2 + (3)^2 + (5)^2) = sqrt(35) ≈ 5.92 (m/s), а конечный модуль скорости │v2│ = sqrt((2)^2 + (4)^2 + (6)^2) = sqrt(56) ≈ 7.48 (m/s). Подставляя значения, получаем: δv ≈ 7.48 — 5.92 ≈ 1.56 (m/s).
Пример использования: Найдите приращение скорости, модуль приращения скорости и приращение модуля скорости для заданного начальной и конечной скорости.
Совет: Для более легкого понимания кинематики движения тела в пространстве, рекомендуется разобрать основные понятия, такие как векторы, скорость, ускорение и их связь с изменением положения тела в пространстве.
Задание: Задана функция движения двух материальных точек: x1 = a1 + b1t + c1t^2 и x2 = a2 + b2t + c2t^2. Найдите момент времени t, когда скорости этих точек будут равными. Определите скорости v1 и v2 и ускорения a1 и a2 этих точек. (Заданы значения a1 = 20 м, a2 = 2 м, v1 = v2 = 2 м/с, c1 = 4 м/с^2 и c2 = 0.5 м/с^2)