1. Determine if the following statements negate each other or not; explain why: a) The number 12 is even. The
2. Formulate the negations of the following statements and determine whether the statement or its negation is true: a) The product of 4070 and 8 is less than the sum of 18396 and 14174; b) The quotient of 25842 and 6 is less than the difference between 14150 and 9833; c) Among different rectangles, there are those with equal areas; d) There exist numbers that are divisible by 5 and 7; e) There are numerical expressions whose values cannot be found.
3. The following statements are taken from elementary math textbooks. Determine which of them contain (explicitly or implicitly) quantifiers and how to establish their truth value (only specify and justify their choice): a) The sum remains unchanged when the addends are rearranged; b) Two consecutive addends can be replaced by their sum; c) The area of a rectangle is equal to the product of its length and width; d) There exist even numbers; e) Some numbers are divisible by 4; f) Among polygons, there are triangles.
Объяснение: Отрицание утверждения означает, что мы отрицаем истинность этого утверждения. Если утверждение A и его отрицание A’, то A и A’ не могут быть одновременно истинными. Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:
a) Число 12 является четным. Число 12 является нечетным.
Эти утверждения не противоречат друг другу, так как число 12 не может быть одновременно четным и нечетным.
b) Все числа являются нечетными. Все числа являются четными.
Эти утверждения противоречат друг другу, так как число не может быть одновременно четным и нечетным.
c) Все числа являются нечетными. Существуют четные числа.
Эти утверждения не противоречат друг другу, так как существуют числа, которые являются четными.
d) Некоторые углы являются острыми. Некоторые углы являются тупыми.
Эти утверждения не противоречат друг другу, так как существуют углы, которые одновременно являются острыми и тупыми.
Пример использования:
Утверждение a: «Число 12 является четным. Число 12 является нечетным.»
Утверждение b: «Все числа являются нечетными. Все числа являются четными.»
Утверждение c: «Все числа являются нечетными. Существуют четные числа.»
Утверждение d: «Некоторые углы являются острыми. Некоторые углы являются тупыми.»
Совет: Для понимания отрицания утверждений важно быть внимательным к фразеологии и понимать логические связи между утверждениями. Также полезно внимательно рассматривать примеры, чтобы понять, какие утверждения противоречат друг другу, а какие совместимы.
Упражнение: Определите, противоречат ли следующие утверждения друг другу или нет:
a) Все птицы могут летать. Некоторые птицы не могут летать.
b) Все собаки имеют хвост. Некоторые собаки не имеют хвоста.