1. Докажите, что число а кратно m, если a = 20^3 + 58^4 + 77^2 + 16, m = 19. 2. Докажите, что при любых натуральных m и n

Инструкция: Чтобы доказать, что число а кратно m, нужно показать, что a делится на m без остатка. Для этого рассмотрим выражение a и найдем его остаток при делении на m.

a = 20^3 + 58^4 + 77^2 + 16

Для удобства вычислений воспользуемся понятием остатка при делении больших чисел на 19. Например, числа 20, 58 и 77 можно заменить на их остатки при делении на 19:

20 mod 19 = 1
58 mod 19 = 2
77 mod 19 = 1

Теперь перепишем выражение a с использованием остатков:

a = (1^3 + 2^4 + 1^2 + 16) mod 19
= (1 + 16 + 1 + 16) mod 19
= 34 mod 19
= 16

Остаток a при делении на 19 равен 16. Это значит, что a не делится на 19 без остатка и, следовательно, число а не кратно m.

2. Докажите, что при любых натуральных m и n число a кратно p, если a = (3m + 5n + 2)^7 * (5m + 9n + 5)^6, p = 64.

Инструкция: Чтобы доказать, что число а кратно p, необходимо показать, что a делится на p без остатка при любых значениях m и n. Для этого рассмотрим выражение a и найдем его остаток при делении на p.

a = (3m + 5n + 2)^7 * (5m + 9n + 5)^6

Раскроем выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:

a = (3m + 5n + 2)^7 * (5m + 9n + 5)^6
= (3m)^7 * (5n)^7 * (2)^7 * (5m)^6 * (9n)^6 * (5)^6 * (2)^6
= (3^7 * 5^7 * 2^7 * 5^6 * 9^6 * 5^6 * 2^6) * (m^7 * n^7 * m^6 * n^6)
= (3^7 * 5^13 * 2^13 * 9^6) * (m^13 * n^13)

Теперь рассмотрим остаток a при делении на 64:

a = (3^7 * 5^13 * 2^13 * 9^6) * (m^13 * n^13) mod 64

Заметим, что все множители, кроме (m^13 * n^13), делятся на 64 без остатка, так как они имеют степени, большие или равные 6. Остаток же от деления (m^13 * n^13) на 64 зависит от значений m и n.

Таким образом, для любых натуральных m и n, число а кратно p.

3. Пусть a и b — целые числа. Докажите, что если число c кратно m, то и число d кратно m, если c = 5a + 3b, m = 11, d = 7a + 2b.

Инструкция: Чтобы доказать, что число d кратно m при условии, что число c кратно m, нужно показать, что d делится на m без остатка. Рассмотрим выражения c и d и найдем их остатки при делении на m.

c = 5a + 3b
d = 7a + 2b
m = 11

Выразим a и b через целое число k:

a = 11k + b
b = a — 11k

Теперь подставим значения a и b в выражения c и d:

c = 5(11k + a) + 3(a — 11k)
= 55k + 5a + 3a — 33k
= 22k + 8a

d = 7(11k + a) + 2(a — 11k)
= 77k + 7a + 2a — 22k
= 55k + 9a

Теперь рассмотрим остатки c и d при делении на 11:

c = (22k + 8a) mod 11
= (8a) mod 11

d = (55k + 9a) mod 11
= (9a) mod 11

Заметим, что остатки c и d при делении на 11 совпадают, так как 8 и 9 оба дают остаток 8 при делении на 11.

Таким образом, если число c кратно m, то и число d кратно m, при условии, что m = 11.

4. Найдите все целые числа, которые дают остатки r1 и r2 при делении на m и n соответственно, если m = 15, n = 24, r1 = 8, r2 = 9.

Инструкция: Чтобы найти все целые числа, которые дают остатки r1 и r2 при делении на m и n соответственно, необходимо решить систему сравнений:

x ≡ r1 (mod m)
x ≡ r2 (mod n)

Где r1 и r2 — остатки при делении на m и n, соответственно. Решение этой системы дает нам числа, которые удовлетворяют обоим условиям.

В данном случае имеем следующую систему сравнений:

x ≡ 8 (mod 15)
x ≡ 9 (mod 24)

Для решения этой системы можно воспользоваться китайской теоремой об остатках или методом подстановки. Воспользуемся методом подстановки.

Подставим различные значения x, начиная со значения r1, и найдем такое значение x, которое удовлетворяет условию:

x = 8

Для m = 15:
8 ≡ 8 (mod 15) — выполнено

Для n = 24:
8 ≡ 8 (mod 24) — выполнено

Таким образом, x = 8 является одним из решений системы.

Можно продолжить выполнять подстановку значений для x, начиная со значения m + r1 = 15 + 8 = 23, и найти остальные решения системы.

Окончательно, все целые числа, которые дают остатки 8 и 9 при делении на 15 и 24 соответственно, являются числами вида:

x = 8 + 15k = 9 + 24m, где k — целое число.

5. Докажите, что при любом n из Z число а кратно 3, если a = 7n^3 + 32n + 10^4 + 8.

Инструкция: Чтобы доказать, что число а кратно 3 при любом n из Z, нужно показать, что a делится на 3 без остатка.

Рассмотрим выражение a и найдем его остаток при делении на 3:

a = 7n^3 + 32n + 10^4 + 8

Заметим, что 10^4 делится на 3 без остатка, так как последние две цифры, 10, являются кратными 3. Также 8 делится на 3 без остатка.

Теперь перейдем к n^3 и 32n. Для упрощения рассуждений воспользуемся понятием остатка при делении на 3. Например, n^3 можно заменить на его остаток при делении на 3:

n^3 mod 3 = r

Теперь перепишем выражение a с использованием остатков:

a = 7(n^3) + 32n + 10000 + 8
= 7(r) + 32n + 10000 + 8
= 7r + 32n + 10008

Заметим, что остаток a при делении на 3 зависит от значений r и n. Однако 7r и 32n делятся на 3 без остатка, поскольку что 7, что 32 являются кратными 3.

Таким образом, a = 7r + 32n + 10008 делится на 3 без остатка при любом n из Z.

6. Найдите остаток от деления числа а на 10, если а = 4^7.

Инструкция: Чтобы найти остаток от деления числа а на 10, нужно найти последнюю цифру числа а. Для этого рассмотрим последовательность степеней числа 4:

4^1 = 4
4^2 = 16
4^3 = 64
4^4 = 256
4^5 = 1024
4^6 = 4096
4^7 = 16384

Заметим, что у последних цифр в каждой степени числа 4 возникает периодичность: 4, 6, 4, 6 и т.д. В данном случае, последняя цифра числа 4^7 будет 4.

Таким образом, остаток от деления числа а = 4^7 на 10 равен 4.