1) Какой из данных векторов соответствует вектору c(3; 1; 2)? 2) При каких значениях n векторы a(2; 1; n) и
2) При каких значениях n векторы a(2; 1; n) и b(-3; m; n) будут перпендикулярны?
3) Найдите длину вектора m=a-2b, если |a|=2, |b|=1 и угол между векторами a и b равен 60°.
4) Найдите косинус угла a треугольника abc, где a(0; 1; -1), b(1; -1; 0) и c(0; 1; 1).
5) При каких значениях n и m векторы а(-1; 4; -2) и b(-3; m; n) будут коллинеарны?
Инструкция: Векторы — это направленные отрезки, имеющие длину и направление. Вектор может быть представлен в виде списка чисел, где каждое число представляет силу или компоненту вектора в определенном измерении. У вас есть несколько задач, связанных с векторами, вот подробные решения:
1) Чтобы найти вектор, равный c(3; 1; 2), нужно взять каждый элемент этого вектора и разместить его в соответствующие измерения. Таким образом, вектор c равен (3 вдоль оси X, 1 вдоль оси Y и 2 вдоль оси Z).
2) Два вектора a(2; 1; n) и b(-3; m; n) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Так как скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их компонент, мы получаем уравнение: 2 * (-3) + 1 * m + n * n = 0. Найдите значения n и m, которые удовлетворяют этому уравнению.
3) Длина вектора m=a-2b может быть найдена с помощью формулы длины вектора: |m| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), где x, y и z — компоненты вектора m. Здесь m = a — 2b, поэтому мы вычитаем каждую компоненту b, умноженную на 2 из соответствующей компоненты a. Затем используем формулу для вычисления длины.
4) Для определения косинуса угла a треугольника abc, нам нужно использовать формулу косинуса: cos(a) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|), где AB и AC — векторы, их скалярное произведение указано как (AB · AC), а |AB| и |AC| — длины векторов AB и AC соответственно. Поставьте значения векторов AB и AC и вычислите косинус угла.
5) Два вектора а(-1; 4; -2) и b(-3; m; n) коллинеарны, если один можно получить из другого умножением на константу (в данном случае, если а = b * k). Это означает, что каждая компонента одного вектора должна быть пропорциональна соответствующей компоненте другого вектора. Найдите значения n и m, которые удовлетворяют этому условию.
Совет: Векторы — это важная тема в линейной алгебре. Чтение и изучение материала о векторах может помочь вам лучше понять и решать подобные задачи. Изучите основные понятия, такие как скалярное произведение, длина вектора и коллинеарность, и практикуйтесь в решении различных задач с использованием этих понятий.
Задание: Найдите скалярное произведение двух векторов: a(2; -3; 1) и b(4; 0; -2).