1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции: а) y=x^3-8x^2+360 б) y​

Пояснение: Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы должны исследовать ее производную. Если производная положительна на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на некотором интервале, то функция убывает на этом интервале.

а) Для функции y = x^3 — 8x^2 + 360, найдем производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

y’ = 3x^2 — 16x
Set y’ = 0: 3x^2 — 16x = 0
Факторизуем: x(3x — 16) = 0
Таким образом, x = 0 или x = 16/3. Эти значения являются критическими точками.

Теперь выберем тестовую точку на каждом интервале, чтобы определить возрастание или убывание функции:
Для x < 0, выберем x = -1
Подставляем в y': y' = 3(-1)^2 — 16(-1) = 3 + 16 = 19
Так как y' положительно, функция возрастает на интервале x < 0.

Для 0 < x < 16/3, выберем x = 1
Подставляем в y': y' = 3(1)^2 — 16(1) = 3 — 16 = -13
Так как y' отрицательно, функция убывает на интервале 0 < x 16/3, выберем x = 3
Подставляем в y’: y’ = 3(3)^2 — 16(3) = 27 — 48 = -21
Так как y’ отрицательно, функция убывает на интервале x > 16/3.

Таким образом, интервалы возрастания функции это x < 0, а интервалы убывания — 0 < x 16/3.

Пример использования: Найдите интервалы возрастания и убывания функции y = x^4 — 12x^2 + 16.

Совет: Чтобы более легко установить интервалы возрастания и убывания функции, помните, что производная функции показывает ее скорость изменения. Если производная положительна, функция возрастает, если производная отрицательна, функция убывает.

Упражнение: Найдите интервалы возрастания и убывания функции y = 2x^3 — 15x^2 + 36x.