1. Найдите координаты центра окружности и её радиус, если точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами
2. Найдите длину вектора АС – СВ, при условии данных точек: А(0;4;–1), В(1;3;0), и С(0;2;5).
3. Рассчитайте угол между векторами АВ и СД, имея следующие координаты точек: А(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), и D(7;-7;-9).
4. Запишите уравнение сферы, центр которой находится в точке О (3;-2;1) и которая проходит через точку М(1;2;-3).
5. Определите значения m, при которых угол между векторами а(4;1;-2) и b(3; m;2) является: а) острым; б) тупым; в) прямым.
Пояснение:
1. Чтобы найти центр окружности и её радиус, зная координаты точек А и В, нужно найти середину отрезка АВ (координаты центра окружности) и расстояние между точками А и В, которое будет равно двукратному радиусу.
2. Для нахождения длины вектора АС — СВ нужно найти разность векторов АС и СВ, а затем вычислить длину этого вектора.
3. Чтобы найти угол между векторами АВ и СД, нужно использовать формулу cos(θ) = (АВ * СД) / (|АВ| * |СД|), где АВ и СД — векторы, * — операция скалярного произведения векторов, |АВ| и |СД| — модули (длины) векторов.
4. Уравнение сферы можно записать в виде (x — x₀)² + (y — y₀)² + (z — z₀)² = r², где (x₀, y₀, z₀) — координаты центра сферы, r — радиус.
5. Чтобы определить значения m, при которых угол между векторами а и b является острым, тупым или прямым, нужно найти скалярное произведение векторов а и b, а затем вычислить косинус угла между ними при помощи формулы cos(θ) = (а * b) / (|а| * |b|), где а и b — векторы, * — операция скалярного произведения векторов, |а| и |b| — модули (длины) векторов.
Пример использования:
1. Координаты центра окружности: (0; 1; 1), радиус: √14.
2. Длина вектора АС — СВ: √26.
3. Угол между векторами АВ и СД: около 25.22°.
4. Уравнение сферы: (x — 3)² + (y + 2)² + (z — 1)² = 35.
5. Угол между векторами а(4; 1; -2) и b(3; m; 2) является: а) острым при m -2/3, в) прямым при m = -2/3.
Совет: Чтобы лучше понять геометрию в пространстве, рекомендуется изучить основные понятия и формулы, проводить визуализацию задач и упражняться в их решении.
Упражнение: Найдите объем тетраэдра ABCD, зная координаты его вершин: A(1;2;3), B(-1;0;2), C(0;1;-1) и D(3;1;4).