1. Найдите сумму и разность ста первого члена арифметической прогрессии 2,7; 3,1; 3,5;… 2. Найдите сумму первых пяти членов
2. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b1 = 8 и q = ½.
3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 96, 24, 6,…
4. Найдите номер члена арифметической прогрессии, который равен 30,6, если а1 = 12,2 и разность прогрессии d = 0,4.
5. При каких значениях Х выражения х-1, 1-2х и х+7 будут являться последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.
Для нахождения суммы и разности ста первого члена арифметической прогрессии, нам необходимо знать первый член прогрессии a₁, шаг прогрессии d и номер члена n.
Для данной арифметической прогрессии, первый член a₁ = 2,7 и шаг прогрессии d = 3,1 — 2,7 = 0,4.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой:
Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n-1)d),
где Sₙ — сумма первых n членов прогрессии.
Разность первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой:
Dₙ = aₙ — a₁ = (n — 1)d,
где Dₙ — разность первых n членов прогрессии.
Теперь подставим данные в формулы и решим задачу:
а) Сумма:
a₁ = 2,7
d = 0,4
n = 100
Sₙ = (100/2)(2*2,7 + (100-1)*0,4)
Sₙ = 50(5,4 + 99*0,4)
Sₙ = 50(5,4 + 39,6)
Sₙ = 50(45)
Sₙ = 2250
Ответ: Сумма ста первых членов арифметической прогрессии равна 2250.
б) Разность:
a₁ = 2,7
d = 0,4
n = 100
Dₙ = (n — 1)d
Dₙ = (100 — 1)*0,4
Dₙ = 99 * 0,4
Dₙ = 39,6
Ответ: Разность ста первых членов арифметической прогрессии равна 39,6.
2. Решение:
Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, нам необходимо знать первый член прогрессии b₁, знаменатель прогрессии q, и количество членов прогрессии n.
Для данной геометрической прогрессии, первый член b₁ = 8 и знаменатель q = 1/2.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается формулой:
Sₙ = b₁ * (1 — qⁿ) / (1 — q),
где Sₙ — сумма первых n членов прогрессии.
Теперь подставим данные в формулу и решим задачу:
b₁ = 8
q = 1/2
n = 5
Sₙ = 8 * (1 — (1/2)⁵) / (1 — 1/2)
Sₙ = 8 * (1 — 1/32) / (1/2)
Sₙ = 8 * (31/32) / (1/2)
Sₙ = 8 * (31/32) * (2/1)
Sₙ = 31
Ответ: Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 31.
3. Решение:
Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии, нам необходимо знать первый член прогрессии b₁ и знаменатель прогрессии q.
Для данной геометрической прогрессии, первый член b₁ = 96 и знаменатель q = 24/96 = 1/4.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии выражается формулой:
S = b₁ / (1 — q),
где S — сумма бесконечной прогрессии.
Теперь подставим данные в формулу и решим задачу:
b₁ = 96
q = 1/4
S = 96 / (1 — 1/4)
S = 96 / (3/4)
S = 96 * (4/3)
S = 128
Ответ: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 128.
4. Решение:
Для нахождения номера члена арифметической прогрессии, нам необходимо знать первый член прогрессии а₁, разность прогрессии d и значение члена аₙ.
Для данной арифметической прогрессии, первый член a₁ = 12,2 и разность d = 0,4.
Чтобы найти номер члена n, мы используем формулу:
n = (aₙ — a₁) / d + 1,
где n — номер члена прогрессии.
Теперь подставим данные в формулу и решим задачу:
a₁ = 12,2
d = 0,4
aₙ = 30,6
n = (30,6 — 12,2) / 0,4 + 1
n = 18,4 / 0,4 + 1
n = 46 + 1
n = 47
Ответ: Номер члена арифметической прогрессии, который равен 30,6, равен 47.
5. Решение:
Мы знаем, что последовательные члены геометрической прогрессии удовлетворяют соотношению:
b₂ / b₁ = b₃ / b₂ = q,
где b₁, b₂ и b₃ — последовательные члены прогрессии, q — знаменатель прогрессии.
Даны следующие выражения: х-1, 1-2х и х+7.
Рассмотрим два возможных варианта:
а) Х = х-1, 1-2х, х+7
b₂ / b₁ = (1-2х) / (х-1) = (х+7) / (1-2х)
Решим данное уравнение:
(1-2х)(1-2х) = (х+7)(х-1)
1 — 2х — 2х + 4х² = х² — х + 7х — 7
1 — 4х + 4х² = х² + 6х — 7
4х² — 10х — 8 = 0
Продолжение в следующем сообщении…