1. В какой из данных точек лежит точка xoy: а) a (3; 7;-5); б) c (3;0; 5); в) b (2;-2;0); г) d
2. Если точка m является серединой отрезка ab, то каковы координаты точки b, если a (4;-6; 2), m (5;-3;0). а) b(6;0;-2); б) b(1;-3;-2); в) b(7;-6;1);
3. Если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 3 см, а угол, лежащий напротив основания, равен 30°, то какова площадь проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости проекции под углом 60 градусов. а) 9/8 см^2; б) 4/5 см^2; в) 8/9 см^2;
4. Если из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 6, проведены две наклонные к плоскости под углами 45° и 30°, то каковы длины наклонных. а) 6√2 и 8√2; б) 4√2 и 8√2; в) 6√2 и 12;
5. Если угол между векторами a и b равен 60° и |а|=4 и |b|=2, то какова абсолютная величина вектора 2 а — b. а) 10; б) 5√2; в) 2√13;
6. Если a (7;5;-1), b (-3;2;6), c (9;0;-12), то какова длина медианы треугольника abc, проходящей через точку k. а) 3√6; б) 6; в) 2√6;
7. Какой из данных углов наибольший, если a(2;0;1), b(0;-1;4), c(3;-1;-2), d (0; 2;0). а) abc; б) cda; в) bcd; г) dab.
Объяснение: Для определения того, в какой из данных точек лежит точка xoy, необходимо сравнить координаты точки xoy с координатами каждой из данных точек a, b, c, d. Координаты точки xoy даны в виде трех чисел, представляющих значения по осям x, y и z соответственно. Из данного списка точек, нужно выбрать ту, у которой значения координат x, y и z совпадают с координатами точки xoy.
Пример использования: В данной задаче, точка xoy имеет координаты (3, 7, -5). Путем сравнения этих координат с координатами заданных точек a (3, 7, -5), b (2, -2, 0), c (3, 0, 5) и d (0, -1, 2), мы видим, что координаты точки xoy совпадают с координатами точки a (3, 7, -5). Таким образом, точка xoy лежит в точке a.
Совет: Для более легкого понимания трехмерного пространства и его координат, рекомендуется визуализировать каждую из точек в трехмерной системе координат и сравнивать их взаимное расположение.
Упражнение: В какой из данных точек лежит точка xyz: а) a (1, 2, 3); б) b (4, 5, 6); в) c (7, 8, 9); г) d (10, 11, 12).
2. Координаты точки на отрезке
Объяснение: Чтобы найти координаты точки b, если точка m является серединой отрезка ab, можно использовать следующую формулу: координата b = 2 * координата m — координата a. Данная формула основана на том, что точка m является серединой отрезка ab, а значит, расстояние между точками a и b равно расстоянию между точками a и m.
Пример использования: В данной задаче, координаты точки a равны (4, -6, 2), а координаты точки m равны (5, -3, 0). Подставляя значения в формулу, получаем: координата b = 2 * (5, -3, 0) — (4, -6, 2) = (10, -6, 0) — (4, -6, 2) = (6, 0, -2). Таким образом, координаты точки b равны (6, 0, -2).
Совет: Для лучшего понимания концепции середины отрезка, можно представить отрезок ab на координатной плоскости и визуализировать положение точек a, b и m на этой плоскости. Это поможет лучше понять, как работает формула для нахождения координат точки b.
Упражнение: Если точка n является серединой отрезка cd, а координаты точек c и d равны c(1, 2, 3) и d(7, 8, 9) соответственно, найдите координаты точки n.
3. Площадь проекции равнобедренного треугольника
Объяснение: Для определения площади проекции равнобедренного треугольника на плоскость необходимо знать длину боковой стороны и угол, лежащий напротив основания треугольника. Под углом, под которым проекция наклонена к плоскости, понимается угол между плоскостью проекции и плоскостью треугольника.
Пример использования: В данной задаче, длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 3 см, а угол, лежащий напротив основания треугольника, равен 30°. Угол между плоскостью проекции и плоскостью треугольника равен 60°. Используя формулу площади проекции равнобедренного треугольника, получаем: площадь проекции = (3 * 3 * sin(30°) * sin(60°)) / 2 = 4/5 см^2.
Совет: Для более легкого понимания площади проекции равнобедренного треугольника, рекомендуется рисовать треугольник и его проекцию на плоскости. Это поможет визуализировать и разобраться в геометрической структуре задачи.
Упражнение: Если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, а угол, лежащий напротив основания, равен 45°, а угол между плоскостью проекции и плоскостью треугольника равен 30°, найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость.
4. Расстояние от точки до плоскости
Объяснение: Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, используется формула, известная как формула Эйлера. Формула Эйлера основана на понятии векторного произведения и позволяет найти расстояние от точки до плоскости, используя координаты точки и коэффициенты плоскости.
Пример использования: В данной задаче, если точка находится на расстоянии 5 единиц от плоскости, коэффициенты плоскости равны (1, 2, 3, -4), а координаты точки равны (2, -1, 3), то используя формулу Эйлера, получаем: расстояние = |1 * 2 + 2 * (-1) + 3 * 3 — (-4)| / sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = 28 / sqrt(14).
Совет: Для лучшего понимания формулы Эйлера и расстояния от точки до плоскости, рекомендуется изучить векторное произведение и его свойства. Это поможет лучше понять геометрический смысл формулы и ее применение.
Упражнение: Найдите расстояние от точки P(3, -2, 1) до плоскости с уравнением 2x — 3y + z = 5.