1. В равнобедренном треугольнике, где синус угла при основании равен 1/3, определите косинус угла при вершине
2. Произведите вывод формул тройного угла:
а) sin3α = 3sinα−4sin 3 α;
б) cos3α = 4cos 3 α−3cosα;
в) tg3α = (3tgα−tg 3 α)/( 1−3tg 2 α) .
3. Докажите, что:
а) cos π/ 5*cos2π /5=1 /4;
б) cos20 0 cos40 0 cos80 0 = 1/ 8.
Решение задач:
1. В равнобедренном треугольнике, у которого синус угла при основании равен 1/3, необходимо найти косинус угла при вершине.
Для начала, воспользуемся формулой синуса: sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза. В случае равнобедренного треугольника, где угол при вершине равен α, основание половину гипотенузы.
Таким образом, sin(α) = 1/3, а основание равно гипотенузе / 2. Получаем sin(α) = 1/3 = (гипотенуза / 2) / гипотенуза. Упрощая, получаем 1/3 = 1 / 2, откуда гипотенуза = 2/3.
Затем, используя теорему Пифагора, находим длину основания треугольника: (основание)^2 + (гипотенуза / 2)^2 = гипотенуза^2. Подставляем известные значения и решаем уравнение: (основание)^2 + (2/3 / 2)^2 = (2/3)^2. Отсюда получаем (основание)^2 + 1/9 = 4/9, что ведет к (основание)^2 = 3/9, и дальше (основание)^2 = 1/3.
Наконец, чтобы найти косинус угла при вершине, воспользуемся определением косинуса: cos(α) = прилежащий катет / гипотенуза. Подставляем известные значения и получаем: cos(α) = (основание) / гипотенуза = √(1/3) / (2/3) = √(1/3) / 2 = √(1/12).
Ответ: косинус угла при вершине равнобедренного треугольника равен √(1/12).
2. Формулы тройного угла:
а) sin3α = 3sinα — 4sin³α.
б) cos3α = 4cos³α — 3cosα.
в) tg3α = (3tgα — tg³α) / (1 — 3tg²α).
Совет:
Чтобы лучше понять и запомнить формулы тройного угла, рекомендуется вывести их самостоятельно, а также провести несколько практических примеров, подставляя разные значения углов α.
Упражнение:
Вычислите значение следующих выражений:
а) sin(3π/4).
б) cos(3π/6).
в) tg(3π/8).
Удачи!