1. В таблице приведено расположение прямых и углов между ними в данном правильном тетраэдре abcd, где точки k и m
2. В данном кубе abcdabcd, где диагональ bad равна 8, точка к делит ребро вісів в отношении 3:5. Необходимо найти длину отрезка прямой, заключенного внутри куба, проведенной через точку к и параллельной прямой вір.
3. Дано основание параллелограмма авсо пирамиды мавсd. Точка р является серединой ребра вс. Необходимо доказать, что в плоскости мос не существует прямой, параллельной прямой ap.
Обозначим точки:
— a, b, c, d — вершины тетраэдра;
— k — середина ребра ad;
— m — середина ребра dc.
Прямые в данном тетраэдре:
— ab, ac, bc, bd, cd, am, bm, cm, ak, dk, mk.
Углы между прямыми:
— угол а, образованный прямыми ab и ac;
— угол b, образованный прямыми ab и bc;
— угол c, образованный прямыми ac и bc;
— угол d, образованный прямыми bd и cd;
— угол e, образованный прямыми ad и am;
— угол f, образованный прямыми bd и bm;
— угол g, образованный прямыми cd и cm;
— угол h, образованный прямыми dk и dk;
— угол i, образованный прямыми ak и ak;
— угол j, образованный прямыми mk и mk.
Заполняя талицу, получим следующие значения:
| Номер | Прямые | Расположение | Величина угла |
|——|————|—————-|—————|
| 1 | ab | Ниже ac и bc | угол а |
| 2 | ac | Ниже ab и bc | угол а |
| 3 | bc | Выше ab и ac | угол а |
| 4 | bd | Рядом с cd | угол d |
| 5 | cd | Рядом с bd | угол d |
| 6 | am | Между ad и ak | угол e |
| 7 | bm | Между bd и dk | угол f |
| 8 | cm | Между cd и dk | угол g |
| 9 | ak | Между am и dk | угол i |
| 10 | dk | Между ak и cm | угол h |
| 11 | mk | Между am и cm | угол j |
2. Длина отрезка, заключенного внутри куба:
В данном кубе abcdabcd, где диагональ bad равна 8, точка к делит ребро вісів в отношении 3:5.
Обозначим:
— l — длина ребра куба;
— x — длина отрезка kb;
— y — длина отрезка кд.
Из условия получаем:
l = √(8^2 + 8^2 + 8^2) = √(3 * 8^2) = √(3) * 8
Отношение длин ребер:
x/y = 3/5
Так как отрезок прямой параллелен одному из ребер куба, его длина равна x.
Таким образом, длина отрезка прямой, заключенного внутри куба и параллельного прямой через вершину c, равна √(3)/5 * √(3) * 8 = 8/5 * √(3).
3. Доказательство равенства сторон:
Дано основание параллелограмма авсо пирамиды мавсd. Точка р является серединой ребра вс.
Обозначим:
— а, в — стороны параллелограмма авсо;
— с — диагональ параллелограмма авсо;
— р — середина ребра вс.
Так как р — середина ребра вс, то прямая rp является медианой треугольника acv.
По свойству медианы, медиана делит сторону пополам.
То есть, рассматриваемая прямая rp делит сторону ac пополам:
ar = cr
Также из свойств параллелограмма известно, что противоположные стороны равны:
а = с
Следовательно:
ar = cr = с, что и требовалось доказать.
Таким образом, сторона параллелограмма авсо равна стороне с основания параллелограмма авсо.