1. В треугольнике abc, медиана am, высота ah и биссектриса al проведены из вершины a. Сделать вывод, что
2. В треугольнике abc известны стороны b и c. Угол a в два раза больше угла b. Определить сторону a.
3. Доказать, что в любом треугольнике меньшая биссектриса соответствует большей стороне.
4. У треугольника две равные биссектрисы. Доказать, что он является равнобедренным.
Доказательство: По условию, Аl — биссектриса угла МАН. Значит, угол МАlN= угол НАlN. Но также угол НАМ = угол НМА (так как АМ — медиана) и у угол НМА = угол МАlN (так как АМН — прямоугольный треугольник). Значит, угол МАlN = угол НАМ. По определению равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то стороны, противолежащие данным углам, также равны. Так как сторона АМ равна стороне АН (так как АМ — медиана, а АН -высота), то треугольник АМН является равнобедренным.
2. Задача: В треугольнике АВС известны стороны ВС и CA. Угол А в два раза больше угла В. Найдите сторону ВС.
Решение: Обозначим стороны треугольника АВС следующим образом: AC = c, AB = b, BC = a. Также углы даны: ∠B = x, ∠A = 2x. По теореме синусов в треугольнике АВС:
[frac{b}{sin(2x)} = frac{a}{sin(x)}]
Заметим, что [sin(2x) = 2sin(x)cos(x)]
Подставим это выражение в уравнение:
[frac{b}{2sin(x)cos(x)} = frac{a}{sin(x)}]
Упростим уравнение, умножив обе части на [2cos(x)] и на [sin(x)] :
[b=2acos(x)]
Теперь в том же треугольнике рассмотрим теорему синусов для угола (в):
[frac{c}{sin(x)} = frac{a}{sin(B)}]
Заметим, что в силу суммы углов треугольника верно (sin(B)= sin(180 — A — B) = sin(180 — 2x — x) = sin(180 — 3x))
Подставим это в уравнение:
[frac{c}{sin(x)} = frac{a}{sin(180 — 3x)}]
Упростим уравнение, умножив обе части на (sin(x)) и на (sin(180 — 3x)) :
[c= asin(180 — 3x)]
Осталось только подставить полученные значения сторон AC и BC:
[c = asin(180 — 3x)]
[c = 2acos(x)]
Теперь можно избавиться от переменной a, разделив два уравнения:
[frac{c}{a} = frac{2acos(x)}{a}]
[c = 2cos(x)]
Таким образом, сторона BC равна (2cos(x)).
3. Доказательство: Возьмем произвольный треугольник ABC. Пусть B и C — вершины, противолежащие меньшей и большей стороне соответственно. Пусть в треугольнике ABC BE является биссектрисой угла BAC. Предположим, что BE соответствует меньшей стороне AB. Значит, существует точка D на стороне AC такая, что BD является биссектрисой угла ABC. Рассмотрим угол BAC. По теореме о сумме углов треугольника, угол ABC + угол BAC + угол BCA = 180 градусов. Заметим, что угол ABC равен углу BAC, так как BD является биссектрисой угла ABC. Значит, угол BCA = 90 градусов. Но так как угол BCA прямой, то треугольник ABC прямоугольный. Но это противоречит условию, так как треугольник ABC произвольный. Следовательно, предположение неверно и BE соответствует большей стороне AC.
4. Доказательство: Пусть ABC — треугольник с равными биссектрисами AD и BE. Необходимо доказать, что треугольник ABC является равнобедренным. Заметим, что AD и BE пересекаются в точке I — центре вписанной окружности треугольника ABC. Проведем линии AC и BC. Так как AD и BE являются биссектрисами, угол AID равен углу BIE, и угол AIB равен углу BIA. По теореме суммы углов треугольника, угол AIB + угол ABC + угол BCA = 180 градусов. Заметим, что угол AIB равен углу ABC, так как угол AID равен углу BIE. Тогда получаем уравнение: угол ABC + угол ABC + угол BCA = 180 градусов. Упростим его, получаем: 2 * угол ABC + угол BCA = 180 градусов. Но известно, что угол ABC равен углу BCA, так как AD и BE являются биссектрисами. Тогда уравнение принимает вид: 3 * угол ABC = 180 градусов. Разделим его на 3: угол ABC = 60 градусов. Таким образом, все углы треугольника ABC равны 60 градусов, значит, треугольник ABC — равносторонний и равнобедренный.