1. What is the simplified expression if it is known that x is less than 45 degrees? cos(3π/2+x)= cos(3π/2−x)= 2
2. Simplify the expressions if it is known that x is less than 45 degrees. tg(π+x)= ctg(π−x)=
3. Calculate the value of the trigonometric function sin135° = A. Choose the value of A: 3–√2, 12, 2–√2, 2–√3.
4. Which of the given numbers is equal to the value of the expression cos240°? −2–√3, 3–√3, −2–√2, −12, −3–√3, 2–√2, 2–√3, 3–√2, −3–√2, 12.
5. Find the value of the given expression tg315°. −1, −3–√3, −3–√.
Пояснение:
1. Чтобы упростить выражение cos(3π/2+x), воспользуемся свойством косинуса, согласно которому cos(α+β)=cos α cos β — sin α sin β. Заменим α на 3π/2 и β на x: cos(3π/2+x)= cos(3π/2) cos(x) — sin(3π/2) sin(x). Так как cos(3π/2) = 0 и sin(3π/2) = -1, упрощенное выражение становится: 0*cos(x) — (-1)*sin(x) = sin(x).
2. Аналогично, для упрощения выражения tg(π+x) воспользуемся определением тангенса: tg(π+x) = sin(π+x)/cos(π+x). Заменим sin(π+x) на sin(π)cos(x)+cos(π)sin(x) = 0*cos(x) + (-1)*sin(x) = -sin(x) и cos(π+x) на cos(π)cos(x)-sin(π)sin(x) = (-1)*cos(x) — 0*sin(x) = -cos(x). Таким образом, упрощенное выражение равно: -sin(x)/(-cos(x)) = sin(x)/cos(x) = tg(x). Аналогично, ctg(π-x) = cos(x)/sin(x).
3. Чтобы вычислить значение функции sin135°, воспользуемся тригонометрическим кругом и углом 135°, который лежит в третьем квадранте. В третьем квадранте sin имеет отрицательное значение. Для угла 135° sin135° = -sin(180°-135°) = -sin45° = -1/√2 = -√2/2.
4. Чтобы найти значение выражения cos240°, воспользуемся свойствами косинуса. В тригонометрическом круге видим, что угол 240° лежит в третьем квадранте, и значит cos240° < 0. Из круга видим, что cos240° = cos(240°-180°) = cos60° = 1/2.
5. Чтобы вычислить значение выражения tg315°, воспользуемся определением тангенса: tg(315°) = sin(315°)/cos(315°). Используя свойства синуса и косинуса, получаем: sin(315°) = sin(360°-45°) = sin45° = 1/√2; cos(315°) = cos(360°-45°) = cos45° = 1/√2. Таким образом, tg(315°) = (1/√2)/(1/√2) = 1.
Пример использования:
1. Упростите выражение cos(3π/2+x) при условии, что x меньше 45 градусов.
2. Упростите выражение tg(π+x) и ctg(π-x) при x < 45 градусов.
3. Вычислите значение sin135°.
4. Какое из данных чисел равно значению выражения cos240°?
5. Найдите значение выражения tg315°.
Совет:
Для более легкого понимания тригонометрических функций, рекомендуется изучить тригонометрический круг и связь между значениями функций и углами в разных квадрантах. Помните основные свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также формулы приведения для углов. Регулярная практика с задачами поможет закрепить знания и улучшить навыки в работе с тригонометрическими функциями.
Практика:
Найдите значение выражения cos30°.