Покажите, что sb — sc = da для произвольной точки s в пространстве, если Abcd — прямоугольник
Описание:
Пусть у нас есть прямоугольник ABCD в пространстве, где точка A имеет координаты (x1, y1, z1), B — (x2, y2, z2), C — (x3, y3, z3) и D — (x4, y4, z4).
Точка S в пространстве обозначает произвольную точку с координатами (x, y, z).
Используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, мы можем выразить расстояние sb, sc и da следующим образом:
sb = √((x — x2)^2 + (y — y2)^2 + (z — z2)^2)
sc = √((x — x3)^2 + (y — y3)^2 + (z — z3)^2)
da = √((x — x1)^2 + (y — y1)^2 + (z — z1)^2)
Вычтем из sb значение sc:
sb — sc = √((x — x2)^2 + (y — y2)^2 + (z — z2)^2) — √((x — x3)^2 + (y — y3)^2 + (z — z3)^2)
Для доказательства равенства sb — sc = da воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников.
Из теоремы Пифагора мы знаем, что если у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, то a^2 + b^2 = c^2.
Применяя эту теорему к треугольникам, образованным с использованием точек A, B, C и S, получим:
(x — x2)^2 + (y — y2)^2 + (z — z2)^2 = (x — x1)^2 + (y — y1)^2 + (z — z1)^2 + (x — x3)^2 + (y — y3)^2 + (z — z3)^2
Упрощая это уравнение, получим:
(x — x2)^2 + (y — y2)^2 + (z — z2)^2 — (x — x3)^2 — (y — y3)^2 — (z — z3)^2 = (x — x1)^2 + (y — y1)^2 + (z — z1)^2
Таким образом, мы доказали, что sb — sc = da для произвольной точки S в пространстве, если ABCD — прямоугольник.
Пример использования:
Пусть точка A имеет координаты (2, 3, 4), B — (6, 3, 4), C — (6, 7, 4) и D — (2, 7, 4). Мы выбираем произвольную точку S с координатами (5, 5, 4).
Мы можем использовать формулу, которую мы ранее вывели, чтобы доказать, что sb — sc = da для этой точки S и прямоугольника ABCD.
Совет:
Для более полного понимания данного доказательства, стоит вспомнить основные свойства расстояния между точками в трехмерном пространстве и теорему Пифагора для треугольников. Также стоит провести некоторые дополнительные примеры для закрепления этого материала.
Упражнение:
Для прямоугольника ABCD с координатами A(1, 2, 3), B(4, 2, 3), C(4, 5, 3) и D(1, 5, 3), найдите значение sb — sc = da для точки S(2, 3, 3).