Найдите уравнение медианы и высоты треугольника ABC, проведенных из точки A, а также средней линии, параллельной AB, при

Медиана из точки A:
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Чтобы найти координаты середины стороны BC, найдем среднее арифметическое координат вершин B и C:
x: (0 + (-2)) / 2 = -1
y: (5 + (-1)) / 2 = 2

Теперь, зная координаты вершины A и середины стороны BC, можем записать уравнение медианы в общем виде:
y — y1 = ((y2 — y1) / (x2 — x1))(x — x1)

подставим значения:
y — 3 = (2 — 3) / (-1 — 1) (x — 1)
y — 3 = -1/2 (x — 1)
y — 3 = (-1/2)x + 1/2
y = (-1/2)x + 1/2 + 3
y = (-1/2)x + 1/2 + 6/2
y = (-1/2)x + 7/2

Таким образом, уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из точки A, имеет вид y = (-1/2)x + 7/2.

Высота из точки A:
Высота — это отрезок, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону и перпендикулярный ей. Чтобы найти уравнение высоты, требуется найти уравнение прямой, проходящей через вершину B и перпендикулярной стороне AC.

Найдем угловой коэффициент прямой, параллельной AC и проходящей через вершину B:
m1 = (y1 — y3) / (x1 — x3) = (5 — (-1)) / (0 — (-2)) = 6/2 = 3

Так как прямая, проведенная через вершины B(-2;-1) и A(1;3), перпендикулярна стороне AC, то угловой коэффициент этой прямой будет противоположенному и обратному:
m2 = -1/3

Теперь мы знаем координаты точки B(-2;-1) и угловой коэффициент m2, поэтому можем записать уравнение высоты в общем виде:
y — y1 = m2(x — x1)

подставим значения:
y — (-1) = -1/3(x — (-2))
y + 1 = -1/3(x + 2)
y + 1 = -1/3x — 2/3
y = -1/3x — 2/3 — 3/3
y = -1/3x — 5/3

Таким образом, уравнение высоты треугольника ABC, проведенной из точки A, имеет вид y = -1/3x — 5/3.

Средняя линия параллельная AB:
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Чтобы найти координаты середин сторон AB и AC, найдем среднее арифметическое соответствующих координат вершин:
AB:
x: (1 + 0) / 2 = 1/2
y: (3 + 5) / 2 = 4

АС:
x: (1 + (-2)) / 2 = -1/2
y: (3 + (-1)) / 2 = 1

Теперь, зная координаты середин сторон AB и AC, можем записать уравнение средней линии параллельной AB в общем виде:
y — y1 = ((y2 — y1) / (x2 — x1))(x — x1)

подставим значения:
y — 4 = (1 — 4) / (1/2 — 1)(x — 1/2)
y — 4 = -3 / (-1/2)(x — 1/2)
y — 4 = -3 / (-1/2)(x — 1/2)
y — 4 = 6(x — 1/2)

Таким образом, уравнение средней линии треугольника ABC, параллельной AB, имеет вид y — 4 = 6(x — 1/2).

Длина медианы и высоты:
Чтобы вычислить длину медианы и высоты, необходимо известное уравнение перевести в каноническую форму y = kx + b, где k — угловой коэффициент, а b — свободный член.

Медиана:
y = (-1/2)x + 7/2

Высота:
y = -1/3x — 5/3

Обратимся к уравнению прямой в канонической форме y = kx + b и запишем его в общем виде:
Ax + By + C = 0,

где A = -k, B = 1 и C = -b.

Медиана:
A = 1/2, B = -1 и C = -7/2

Высота:
A = 1/3, B = -1 и C = 5/3

Используем формулу расстояния от точки до прямой:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2),

где (x0, y0) — координаты точки.

Медиана:
d = |(1/2)(1) + (-1)(3) + (-7/2)| / sqrt((1/2)^2 + (-1)^2)
d = |1/2 — 3 — 7/2| / sqrt(1/4 + 1)
d = |-5/2| / sqrt(1/4 + 1)
d = 5/2 / sqrt(5/4 + 1)
d = 5/2 / sqrt(5/4 + 4/4)
d = 5/2 / sqrt(9/4)
d = 5/2 / (3/2)
d = 5/2 * 2/3
d = 5/3

Таким образом, длина медианы треугольника ABC, проведенной из точки A, составляет 5/3.

Высота:
d = |(1/3)(1) + (-1)(3) + (5/3)| / sqrt((1/3)^2 + (-1)^2)
d = |1/3 — 3 + 5/3| / sqrt(1/9 + 1)
d = |-3 + 8/3| / sqrt(1/9 + 1)
d = |-9/3 + 8/3| / sqrt(1/9 + 1)
d = |-1/3| / sqrt(1/9 + 1)
d = 1/3 / sqrt(1/9 + 1)
d = 1/3 / sqrt(4/9 + 9/9)
d = 1/3 / sqrt(13/9)
d = 1/3 * sqrt(9/13)
d = sqrt(9) / sqrt(13)
d = 3 / sqrt(13)
d = 3sqrt(13) / 13

Таким образом, длина высоты треугольника ABC, проведенной из точки A, составляет 3sqrt(13) / 13.

Диаграмма:
(Надеюсь, вам подходит ASCII-графика):

     C (-2;-1)
       / 
      /   
     /     
  h /             
   /         
  /           
A (1;3) - - - - B (0;5)
       m