Найдите максимальное и минимальное значение данной функции на интервале [-1.5, 1.5], где функция задана как

Решение:

Для начала, найдем значения функции на границах интервала, т.е. при x = -1.5 и x = 1.5.

Подставляем значения x в функцию:

При x = -1.5: y = (-1.5)^3 + 9*(-1.5)^2 + 15 = -1.5 + 20.25 + 15 = 33.75

При x = 1.5: y = (1.5)^3 + 9*(1.5)^2 + 15 = 3.375 + 20.25 + 15 = 38.625

Теперь найдем точки, где производная функции равна нулю, так как в этих точках функция может достигнуть экстремумов (максимума или минимума). Для этого возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю:

y’ = 3x^2 + 18x

3x^2 + 18x = 0

x(3x + 18) = 0

x = 0 или x = -6

Теперь найдем значения функции в найденных точках:

При x = 0: y = 0^3 + 9*0^2 + 15 = 15

При x = -6: y = (-6)^3 + 9*(-6)^2 + 15 = -216 + 324 + 15 = 123

Итак, мы получили следующие значения функции:

x = -1.5, y = 33.75

x = -6, y = 123

x = 0, y = 15

x = 1.5, y = 38.625

Таким образом, максимальное значение функции на интервале [-1.5, 1.5] равно 38.625, а минимальное значение — 33.75.

Совет: Для решения подобных задач полезно знать, что максимальное и минимальное значения функции на заданном интервале обычно находятся либо в точках экстремумов, либо на границах интервала. Поэтому стоит проверить оба этих случая.

Практика: Найдите максимальное и минимальное значение функции y = x^2 + 4 на интервале [-2, 2].