Найти антипроизводную в общей форме для функции f(x) = 6/5√(4x + 2) + 1/cos^2(5x

Чтобы найти антипроизводную для данной функции f(x), мы должны использовать правила дифференцирования и интегрирования. Начнем с первого слагаемого 6/5√(4x + 2).

Чтобы найти антипроизводную этого слагаемого, мы можем использовать формулу интегрирования ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1), где n ≠ -1. В данном случае, n = 1/2.

Таким образом, ∫6/5√(4x + 2) dx = (6/5)((4x + 2)^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = (6/5)((4x + 2)^(3/2))/(3/2) + C = (12/5)((4x + 2)^(3/2))/(3) + C.

Теперь рассмотрим второе слагаемое 1/cos^2(5x). Чтобы найти его антипроизводную, мы можем использовать формулу интегрирования ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C.

В данном случае, вместо x у нас есть выражение 5x. Следовательно, антипроизводная для второго слагаемого будет равна ∫1/cos^2(5x) dx = (1/5)∫sec^2(5x) dx = (1/5)tan(5x) + C.

Итак, антипроизводная для заданной функции f(x) = 6/5√(4x + 2) + 1/cos^2(5x) равна (12/5)((4x + 2)^(3/2))/(3) + (1/5)tan(5x) + C, где C — произвольная постоянная.