1. Решите следующие уравнения: a) Найдите корни уравнения 5×2 − 10 = 0 б) Найдите корни уравнения x2 + 6x − 7 = 0 в
a) Найдите корни уравнения 5×2 − 10 = 0
б) Найдите корни уравнения x2 + 6x − 7 = 0
в) Найдите корни уравнения x2 − 3x + 1 = 0
г) Найдите корни уравнения 3×2 + 4x = 0
д) Найдите корни уравнения 3×2 + 7x + 2 = 0
е) Найдите корни уравнения x2 − x + 3 = 0
2. Создайте квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а их произведение равно 4.
3. Одна из сторон прямоугольника больше другой на 7 см. Найдите длины сторон прямоугольника, если его площадь равна 44 см2.
4. Если число -6 является корнем уравнения 2×2 + bx — 6 = 0, найдите второй корень уравнения и значение b.
5. При каком значении a уравнение 2×2 + 4x + a = 0 имеет только один корень?
6. Найдите значение выражения x_1^2+x_2^2, если известно, что x1 и x2 являются корнями уравнения x2 − 14x + 5 = 0, не решая само уравнение.
a) Уравнение 5x² — 10 = 0. Для нахождения корней данного уравнения, мы должны приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение.
5x² — 10 = 0
5x² = 10
x² = 10/5
x² = 2
x = ±√2
Ответ: x₁ = -√2, x₂ = √2
б) Уравнение x² + 6x — 7 = 0. По аналогии с предыдущим заданием, мы должны приравнять квадратное уравнение к нулю и решить его.
x² + 6x — 7 = 0
(x + 7)(x — 1) = 0
x₁ = -7, x₂ = 1
в) Уравнение x² — 3x + 1 = 0. Проведя аналогичные операции, получим:
x² — 3x + 1 = 0
x = (3 ± √(3² — 4(1)(1)))/2
x = (3 ± √5)/2
Ответ: x₁ = (3 + √5)/2, x₂ = (3 — √5)/2
г) Уравнение 3x² + 4x = 0. Приравниваем к нулю и решаем:
3x² + 4x = 0
x(3x + 4) = 0
x₁ = 0, x₂ = -4/3
д) Уравнение 3x² + 7x + 2 = 0. Проводим аналогичные действия, чтобы найти корни:
3x² + 7x + 2 = 0
(3x + 1)(x + 2) = 0
x₁ = -2, x₂ = -1/3
е) Уравнение x² — x + 3 = 0. Проделываем те же шаги:
x² — x + 3 = 0
x₁ = (1 + √(-11))/1, x₂ = (1 — √(-11))/1
Ответ: x₁ = (1 + √11)/2, x₂ = (1 — √11)/2
2. Создание квадратного уравнения:
Дано, что сумма корней равна 6, а их произведение равно 4. Обозначим корни как x₁ и x₂.
Сумма корней = -b/a = 6
Произведение корней = c/a = 4
Из первого уравнения выражаем b через a: b = -6a
Подставляем b во второе уравнение: (-6a)²/a = 4
36a²/a = 4
36a = 4
a = 4/36
a = 1/9
Теперь, найденное значение a, подставляем в первое уравнение, чтобы найти b:
-b/a = 6
-b/(1/9) = 6
-b*9 = 6
-9b = 6
b = 6/-9
b = -2/3
Итак, квадратное уравнение, у которого сумма корней равна 6, а их произведение равно 4, будет: x² — (2/3)x + 1/9 = 0.
3. Нахождение сторон прямоугольника:
Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, а другая сторона больше на 7 см и равна (a + 7).
Площадь прямоугольника равна произведению длины его сторон, т.е. a(a + 7) = 44.
a² + 7a — 44 = 0 — это квадратное уравнение, которое нужно решить.
Решив его, найдем корни:
(a — 4)(a + 11) = 0
a₁ = 4, a₂ = -11
Так как стороны не могут иметь отрицательную длину, то a₂ = -11 не подходит. Ответ: длины сторон прямоугольника равны 4 см и 11 см (a = 4, a + 7 = 11).
4. Нахождение второго корня и значения b:
Если число -6 является корнем уравнения 2x² + bx — 6 = 0, то подставим x = -6 в уравнение и найдем b.
2(-6)² + b(-6) — 6 = 0
72 — 6b — 6 = 0
-6b + 66 = 0
-6b = -66
b = 66/-6
b = -11
Таким образом, второй корень уравнения будет искомым x₂, а значение b равно -11.
5. Нахождение значения a:
Уравнение 2x² + 4x + a = 0 будет иметь только один корень, если его дискриминант равен нулю.
Дискриминант равен b² — 4ac. Подставим в формулу a = 2, b = 4 и c = a и приравняем к нулю.
(4)² — 4(2)(a) = 0
16 — 8a = 0
8a = 16
a = 16/8
a = 2
Таким образом, при значении a = 2 уравнение 2x² + 4x + 2 = 0 будет иметь только один корень.
6. Нахождение значения выражения x₁² + x₂²:
Известно, что x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² — 14x + 5 = 0.
Мы можем найти сумму квадратов корней, используя формулу суммы корней и их произведения.
x₁ + x₂ = -(-14)/1 = 14
x₁x₂ = 5/1 = 5
Мы знаем, что (x₁ + x₂)² — 2x₁x₂ = x₁² + 2x₁x₂ + x₂². Подставим известные значения:
14² — 2(5) = x₁² + x₂²
196 — 10 = x₁² + x₂²
186 = x₁² + x₂²
Таким образом, значение выражения x₁² + x₂² равно 186.