Каково максимальное значение функции y=2x+72/x+9 на интервале [-18; -0,5]?
Пояснение: Для того чтобы найти максимальное значение функции y=2x+72/x+9 на заданном интервале [-18; -0,5], нам нужно проанализировать поведение функции на этом интервале.
1. Сначала найдем производную данной функции. Для этого применим правило дифференцирования для каждого члена функции:
* Производная члена 2x равна 2 (так как производная линейной функции равна ее коэффициенту);
* Для производной члена 72/x применим правило дифференцирования функции вида 1/x, которое гласит, что производная такой функции равна -1/x^2;
* Производная члена 9 равна 0 (так как это константа).
Объединив все вышеперечисленные результаты, получаем производную функции: y’ = 2 — (72/x^2).
2. Теперь найдем точки экстремума функции, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение y’ = 0:
2 — (72/x^2) = 0.
Перенеся все в левую часть, получим: 2x^2 — 72 = 0.
Решим это уравнение с помощью факторизации:
2(x^2 — 36) = 0.
Поделим обе части на 2:
x^2 — 36 = 0.
Факторизуем выражение: (x — 6)(x + 6) = 0.
Получаем два значения x: x = 6 и x = -6.
3. Теперь проверим значения функции на границах интервала и на найденных точках экстремума. Подставим значения x в исходную функцию и найдем соответствующие значения y:
* При x = -18: y = 2(-18) + 72/(-18) + 9 = -36 — 4 + 9 = -31.
* При x = -0,5: y = 2(-0,5) + 72/(-0,5) + 9 = -1 + 144 — 1 = 142.
* При x = 6: y = 2(6) + 72/(6) + 9 = 12 + 12 + 9 = 33.
* При x = -6: y = 2(-6) + 72/(-6) + 9 = -12 — 12 + 9 = -15.
Таким образом, мы получаем следующие значения функции на заданном интервале [-18; -0,5]: y = -31 при x = -18 и y = 142 при x = -0,5. Максимальное значение функции на этом интервале равно 142, и оно достигается при x = -0,5.
Совет: Чтобы лучше понять, как найти максимальное значение функции на заданном интервале, рекомендуется освоить материал по производным функций и исследованию функций на экстремумы. Также полезно уметь решать уравнения и факторизировать выражения. Практика нахождения экстремумов функций поможет развить навыки решения подобных задач.
Задание: Найти минимальное значение функции y = x^3 + 2x^2 — x на интервале [-2; 2].