Для данных векторов а и b с координатами {1; 4; -3}, определите значения m, при которых угол между векторами а и b является: а
а) острым
б) прямым
в) тупым.
Также, при условии, что длина ребра куба abcda1b1c1d1 равна 1, найдите скалярное произведение векторов:
а) bb1 и ad
б) ac и a1d1
в) ab1 и ad1.
а) Чтобы угол между векторами а и b был острым, значения m должны удовлетворять условию: скалярное произведение векторов а и b должно быть положительным, то есть a * b > 0. Рассчитаем скалярное произведение:
a * b = 1*1 + 4*4 + (-3)*m = 1 + 16 — 3m. Для того чтобы это значение было положительным, необходимо, чтобы выражение: 1 + 16 — 3m > 0. Решим неравенство:
17 — 3m > 0
-3m > -17
m < 17/3.
Таким образом, значения m, при которых угол между векторами а и b будет острым, должны быть меньше 17/3.
б) Чтобы угол между векторами а и b был прямым, значения m должны удовлетворять условию: скалярное произведение векторов а и b должно быть равно нулю, то есть a * b = 0. Рассчитаем скалярное произведение:
a * b = 1*1 + 4*4 + (-3)*m = 1 + 16 — 3m. Для того чтобы это значение было равно нулю, необходимо, чтобы выражение: 1 + 16 — 3m = 0. Решим уравнение:
17 — 3m = 0
3m = 17
m = 17/3.
Таким образом, значение m, при котором угол между векторами а и b будет прямым, равно 17/3.
в) Чтобы угол между векторами а и b был тупым, значения m должны удовлетворять условию: скалярное произведение векторов а и b должно быть отрицательным, то есть a * b < 0. Рассчитаем скалярное произведение:
a * b = 1*1 + 4*4 + (-3)*m = 1 + 16 — 3m. Для того чтобы это значение было отрицательным, необходимо, чтобы выражение: 1 + 16 — 3m < 0. Решим неравенство:
17 — 3m < 0
-3m 17/3.
Таким образом, значения m, при которых угол между векторами а и b будет тупым, должны быть больше 17/3.
Скалярное произведение векторов:
а) Для нахождения скалярного произведения векторов bb1 и ad, нужно умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения. Координаты вектора bb1 равны (0, -1, 0), а координаты вектора ad равны (1, 0, -1). Скалярное произведение будет равно: bb1 * ad = 0*1 + (-1)*0 + 0*(-1) = 0
б) Для нахождения скалярного произведения векторов ac и a1d1, нужно умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения. Координаты вектора ac равны (0, 1, -1), а координаты вектора a1d1 равны (-1, 1, -1). Скалярное произведение будет равно: ac * a1d1 = 0*(-1) + 1*1 + (-1)*(-1) = 2
в) Для нахождения скалярного произведения векторов ab1 и ad1, нужно умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения. Координаты вектора ab1 равны (0, 1, 0), а координаты вектора ad1 равны (1, 0, 1). Скалярное произведение будет равно: ab1 * ad1 = 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0.