Какое значение имеет двойной интеграл int int x^{2}y,dx,dy по прямоугольнику3 le x le 6 0 le y le 2?

Разъяснение:
Двойной интеграл используется для нахождения площади или объема под двумерной или трехмерной кривой. В данном случае, вам задан двойной интеграл (int int x^{2}y,dx,dy) по прямоугольнику с ограничениями (3 le x le 6) и (0 le y le 2). Чтобы решить эту задачу, нужно выполнить последовательное интегрирование переменных x и y.

Сначала интегрируем по переменной x. Интеграл (int x^{2}y,dx) по x даст нам (frac{{x^{3}}}{3}y). Теперь мы должны подставить ограничения интегрирования для x, в данном случае от 3 до 6.

Теперь интегрируем полученное выражение по y. Интеграл (int frac{{x^{3}}}{3}y,dy) по y даст нам (frac{{x^{3}}}{6}y^{2} + C), где C — постоянная, которая будет исчезать при вычислении определенного интеграла.

Теперь мы должны подставить ограничения интегрирования для y, в данном случае от 0 до 2. Подставив все значения в выражение, мы получаем конечный ответ.

Пример использования:
Мы хотим найти значение двойного интеграла (int int x^{2}y,dx,dy) по прямоугольнику (3 le x le 6) и (0 le y le 2).

Совет:
При решении двойных интегралов, всегда следуйте последовательности интегрирования по указанным переменным и учитывайте ограничения интегрирования для каждой переменной.

Упражнение:
Найдите значение двойного интеграла (int int 3x^{2}y^{3},dx,dy) по прямоугольнику (0 le x le 4) и (1 le y le 2).