Каков радиус окружности, которая касается сторон прямого угла, если минимальное расстояние от вершины
Каков радиус окружности, которая касается сторон прямого угла, если минимальное расстояние от вершины этого угла до окружности составляет 13 см?
Геометрия: Радиус окружности, касающейся сторон прямого угла
Пояснение: Дано, что окружность касается сторон прямого угла. Предположим, что данная окружность касается стороны АВ в точке К и стороны АС в точке М, а вершина прямого угла — точка О.
Тогда, расстояние от вершины О до окружности равно радиусу окружности. Минимальное расстояние от вершины прямого угла до окружности составляет 13 см.
Также известно, что касание является внешним для угла, следовательно, отрезки ОК и ОМ являются перпендикулярами, опущенными из вершины О к касательной окружности.
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ОКМ и ОАМ:
ОК² = ОМ² + МК² (1)
ОМ = МК = r (радиус окружности)
Таким образом, из (1) получаем:
ОК² = 2r²
ОК = √(2r²)
Так как ОК = 13 см, мы можем решить следующее уравнение:
13 = √(2r²)
13² = 2r²
169 = 2r²
r² = 169/2
r = √(169/2)
r ≈ 10.6
Ответ: Радиус окружности приближенно равен 10.6 см.
Пояснение: Дано, что окружность касается сторон прямого угла. Предположим, что данная окружность касается стороны АВ в точке К и стороны АС в точке М, а вершина прямого угла — точка О.
Тогда, расстояние от вершины О до окружности равно радиусу окружности. Минимальное расстояние от вершины прямого угла до окружности составляет 13 см.
Также известно, что касание является внешним для угла, следовательно, отрезки ОК и ОМ являются перпендикулярами, опущенными из вершины О к касательной окружности.
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ОКМ и ОАМ:
ОК² = ОМ² + МК² (1)
ОМ = МК = r (радиус окружности)
Таким образом, из (1) получаем:
ОК² = 2r²
ОК = √(2r²)
Так как ОК = 13 см, мы можем решить следующее уравнение:
13 = √(2r²)
13² = 2r²
169 = 2r²
r² = 169/2
r = √(169/2)
r ≈ 10.6
Ответ: Радиус окружности приближенно равен 10.6 см.
Совет: При решении данной задачи помните, что расстояние от вершины угла до касающейся окружности равно радиусу окружности. Используйте теорему Пифагора для нахождения значений отрезков и решите уравнение, чтобы найти радиус окружности.
Задание для закрепления: В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 и 12 см. Чему равен радиус окружности, вписанной в этот треугольник?