3. Какое число имеет произведение цифр на 2021 больше, чем сумма цифр? (А. А. Теслер) 4. Какую кнопку

3. Произведение и сумма цифр числа: Чтобы найти число, у которого произведение цифр больше суммы цифр, мы должны рассмотреть все возможные комбинации цифр. Пусть число состоит из двух цифр. Если мы выберем цифры 1 и 1, то их сумма будет равна 2, а произведение — 1. Если мы выберем цифры 1 и 2, то их сумма будет равна 3, а произведение — 2. Таким образом, мы видим, что произведение цифр всегда будет меньше суммы цифр для чисел, состоящих из двух цифр. Теперь рассмотрим числа, состоящие из трех цифр. При выборе цифр 1, 1 и 1, их сумма равна 3, а произведение — 1. Если мы выберем цифры 1, 1 и 2, то их сумма будет равна 4, а произведение — 2. Мы видим, что в этом случае тоже произведение цифр меньше суммы цифр. Аналогично, мы можем продолжать рассмотрение для чисел с большим количеством цифр. Таким образом, отсутствует число, у которого произведение цифр больше суммы цифр.

4. Выключение света в кабинете: Чтобы выключить свет в кабинете, если неизвестно точное количество режимов, проверяющий должен нажать кнопку в соответствии с определенной стратегией. Один из способов состоит в том, чтобы последовательно нажимать каждую кнопку в порядке возрастания количества режимов, начиная с кнопки, у которой наименьшее количество режимов. Например, если есть кнопки с 2, 3 и 4 режимами, проверяющий должен сначала нажать кнопку с 2 режимами, затем с 3 режимами и, наконец, с 4 режимами. Таким образом, проверяющий сможет выключить свет, пройдя по всем возможным вариантам включения режимов.

5. Распределение затрат: Чтобы вычислить, сколько каждому студенту придется заплатить после того, как один студент отказывается из каждой группы, следует использовать понятие среднего арифметического. Предположим, что у нас есть N групп, и в каждой группе идентичное количество студентов (пусть это число будет равно K). Если один студент отказывается в каждой группе, каждая группа теперь будет состоять из (K-1) студентов. Общее количество студентов после этого будет равно N*(K-1). Чтобы найти количество, которое каждый студент должен заплатить, мы должны разделить общую сумму расходов (предположим, это число равно S) на общее количество студентов после отказов, т.е. N*(K-1). Таким образом, каждый студент должен заплатить S / (N*(K-1)).

6. Разделение квадрата на фигурки: Чтобы понять, при каких значениях P мальчику удастся разделить квадрат на фигурки с периметром P, мы должны рассмотреть условия, при которых периметр фигурок будет равен P. Можно представить квадрат, поделенный на 4 фигурки, как сумму периметров этих фигурок. Периметр квадрата равен 4 * длина стороны (P = 4 * a). Чтобы у разделенных фигурок был периметр P, каждая фигурка должна иметь периметр P / 4 (делим общий периметр на 4 равные части). Зная, что периметр фигурки равен P / 4, мы можем выразить длину стороны фигурки через этот периметр (a = (P / 4) / 4). Таким образом, при значениях P, когда периметр фигурки (P / 4) / 4 равен длине стороны квадрата (P / 4), мальчику удастся разделить квадрат на фигурки с периметром P.

7. Распределение карточек с суммой чисел: Чтобы определить, кто из них получил карточку с суммой чисел, мы должны рассмотреть условия задачи или информацию о распределении карточек. Без этой информации невозможно дать однозначный ответ. Если у нас есть конкретные суммы чисел, связанные с каждым из лиц, мы можем сравнить их между собой и определить, кто получил карточку с наибольшей суммой. Если же мы знаем только, что все суммы различны, но нет более подробной информации, то невозможно точно сказать, кто получил карточку с суммой чисел. В таком случае нужно указать, что ответ не может быть определен в данной ситуации.