Какое максимальное значение имеет функция y=2x+50/x+15 на интервале [-10; -0,5]? Пожалуйста, найдите это значение
Объяснение: Для нахождения максимального значения функции y=2x+50/x+15 на интервале [-10; -0,5], мы должны определить, где функция достигает своего пика на этом интервале. Для этого сначала найдем производную функции и приравняем ее к нулю. Затем решим полученное уравнение, чтобы определить точку, где производная равна нулю. Эта точка будет являться потенциальным экстремумом функции на заданном интервале.
Производная для функции y=2x+50/x+15 выглядит следующим образом:
y’ = (2*(x+15)-50/(x+15)^2) / (x+15)^2
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
0 = (2*(x+15)-50/(x+15)^2) / (x+15)^2
После упрощения и умножения на (x+15)^2, мы получаем:
0 = 2*(x+15)^2 — 50
0 = 2x^2 + 60x + 450
2x^2 + 60x + 450 = 0
x^2 + 30x + 225 = 0
Мы можем решить это квадратное уравнение, используя разложение на множители или формулу дискриминанта, но для простоты давайте используем формулу дискриминанта:
D = b^2 — 4ac
D = 30^2 — 4(1)(225)
D = 900 — 900
D = 0
Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень. Найдем этот корень, используя формулу:
x = -b / 2a
x = -30 / 2
x = -15
Таким образом, точка х = -15 является потенциальным экстремумом функции на интервале [-10; -0,5]. Чтобы определить, является ли это максимальным значением, мы можем рассмотреть значения функции y=2x+50/x+15 на концах интервала, то есть при x = -10 и x = -0,5. Подставим эти значения в функцию и найдем соответствующие значения y:
y(-10) = 2*(-10) + 50/(-10) + 15 = -20 — 5 + 15 = -10
y(-0,5) = 2*(-0,5) + 50/(-0,5) + 15 = -1 + (-100) + 15 = -86
Таким образом, мы видим, что значение функции на концах интервала [-10; -0,5] меньше, чем значение функции при x = -15. Следовательно, максимальное значение функции равно y = -10.
Пример использования: Найдите максимальное значение функции y=2x+50/x+15 на интервале [-10; -0,5].
Совет: В данном случае квадратное уравнение было дано в виде производной функции, что позволило найти точку экстремума. Всегда обратите внимание на данную информацию и используйте соответствующие методы в зависимости от поставленной задачи.
Упражнение: Найдите минимальное значение функции y=4x^2-6x+2 на интервале [0; 2].