1. Найдите сумму и разность ста первого члена арифметической прогрессии 2,7; 3,1; 3,5;… 2. Найдите сумму первых пяти членов

Для данной арифметической прогрессии, первый член a₁ = 2,7 и шаг прогрессии d = 3,1 — 2,7 = 0,4.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой:
Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n-1)d),

где Sₙ — сумма первых n членов прогрессии.

Разность первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой:
Dₙ = aₙ — a₁ = (n — 1)d,

где Dₙ — разность первых n членов прогрессии.

Теперь подставим данные в формулы и решим задачу:

а) Сумма:
a₁ = 2,7
d = 0,4
n = 100

Sₙ = (100/2)(2*2,7 + (100-1)*0,4)
Sₙ = 50(5,4 + 99*0,4)
Sₙ = 50(5,4 + 39,6)
Sₙ = 50(45)
Sₙ = 2250

Ответ: Сумма ста первых членов арифметической прогрессии равна 2250.

б) Разность:
a₁ = 2,7
d = 0,4
n = 100

Dₙ = (n — 1)d
Dₙ = (100 — 1)*0,4
Dₙ = 99 * 0,4
Dₙ = 39,6

Ответ: Разность ста первых членов арифметической прогрессии равна 39,6.

2. Решение:
Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, нам необходимо знать первый член прогрессии b₁, знаменатель прогрессии q, и количество членов прогрессии n.

Для данной геометрической прогрессии, первый член b₁ = 8 и знаменатель q = 1/2.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается формулой:
Sₙ = b₁ * (1 — qⁿ) / (1 — q),

где Sₙ — сумма первых n членов прогрессии.

Теперь подставим данные в формулу и решим задачу:

b₁ = 8
q = 1/2
n = 5

Sₙ = 8 * (1 — (1/2)⁵) / (1 — 1/2)
Sₙ = 8 * (1 — 1/32) / (1/2)
Sₙ = 8 * (31/32) / (1/2)
Sₙ = 8 * (31/32) * (2/1)
Sₙ = 31

Ответ: Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 31.

3. Решение:
Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии, нам необходимо знать первый член прогрессии b₁ и знаменатель прогрессии q.

Для данной геометрической прогрессии, первый член b₁ = 96 и знаменатель q = 24/96 = 1/4.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии выражается формулой:
S = b₁ / (1 — q),

где S — сумма бесконечной прогрессии.

Теперь подставим данные в формулу и решим задачу:

b₁ = 96
q = 1/4

S = 96 / (1 — 1/4)
S = 96 / (3/4)
S = 96 * (4/3)
S = 128

Ответ: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 128.

4. Решение:
Для нахождения номера члена арифметической прогрессии, нам необходимо знать первый член прогрессии а₁, разность прогрессии d и значение члена аₙ.

Для данной арифметической прогрессии, первый член a₁ = 12,2 и разность d = 0,4.

Чтобы найти номер члена n, мы используем формулу:
n = (aₙ — a₁) / d + 1,

где n — номер члена прогрессии.

Теперь подставим данные в формулу и решим задачу:

a₁ = 12,2
d = 0,4
aₙ = 30,6

n = (30,6 — 12,2) / 0,4 + 1
n = 18,4 / 0,4 + 1
n = 46 + 1
n = 47

Ответ: Номер члена арифметической прогрессии, который равен 30,6, равен 47.

5. Решение:
Мы знаем, что последовательные члены геометрической прогрессии удовлетворяют соотношению:
b₂ / b₁ = b₃ / b₂ = q,

где b₁, b₂ и b₃ — последовательные члены прогрессии, q — знаменатель прогрессии.

Даны следующие выражения: х-1, 1-2х и х+7.

Рассмотрим два возможных варианта:

а) Х = х-1, 1-2х, х+7

b₂ / b₁ = (1-2х) / (х-1) = (х+7) / (1-2х)

Решим данное уравнение:

(1-2х)(1-2х) = (х+7)(х-1)
1 — 2х — 2х + 4х² = х² — х + 7х — 7
1 — 4х + 4х² = х² + 6х — 7
4х² — 10х — 8 = 0

Продолжение в следующем сообщении…