Найти производную функции cos3x в точке π/2. Найти производную функции cos2x в точке π/4. Найти производную функции x-3/x-1

Обозначим функцию f(x) = cos3x. Чтобы найти производную функции, мы будем использовать правило дифференцирования функции cos(x), которое гласит, что производная cos(x) равна -sin(x).

Шаг 1: Найдем производную f'(x) функции f(x).

f'(x) = -3sin3x

Шаг 2: Для найти значение производной в точке π/2, подставим значение x = π/2 в выражение f'(x).

f'(π/2) = -3sin(3 * (π/2))

Поскольку sin(3 * (π/2)) равно 1, мы можем упростить выражение.

f'(π/2) = -3 * 1

f'(π/2) = -3

Таким образом, производная функции cos3x в точке π/2 равна -3.

Производная функции cos2x в точке π/4:

Обозначим функцию g(x) = cos2x. Используем то же самое правило дифференцирования функции cos(x).

Шаг 1: Найдем производную g'(x) функции g(x).

g'(x) = -2sin2x

Шаг 2: Для найти значение производной в точке π/4, подставим значение x = π/4 в выражение g'(x).

g'(π/4) = -2sin(2 * (π/4))

Поскольку sin(2 * (π/4)) равно 1, мы можем упростить выражение.

g'(π/4) = -2 * 1

g'(π/4) = -2

Таким образом, производная функции cos2x в точке π/4 равна -2.

Производная функции x-3/x-1 в точке X₀=2:

Обозначим функцию h(x) = (x-3)/(x-1). Чтобы найти производную этой функции, мы будем использовать правило дифференцирования функции f(x)/g(x), которое гласит, что производная f(x)/g(x) равна (f'(x) * g(x) — f(x) * g'(x))/(g(x))^2.

Шаг 1: Найдем производную h'(x) функции h(x).

h'(x) = ((1 * (x-1) — (x-3) * 1)/((x-1))^2

Упростим выражение.

h'(x) = (x — 1 — (x — 3))/((x-1))^2

h'(x) = 2/((x-1))^2

Шаг 2: Чтобы найти значение производной в точке X₀ = 2, подставим значение x = 2 в выражение h'(x).

h'(2) = 2/((2-1))^2

h'(2) = 2

Таким образом, производная функции (x-3)/(x-1) в точке X₀ = 2 равна 2.