Какие утверждения верны для любых ограниченных последовательностей [tex]x_n : : and : : y_n[/tex]?

Объяснение:
Для любых ограниченных последовательностей [tex]x_n[/tex] и [tex]y_n[/tex] справедливы следующие утверждения:

1. Если [tex]x_n leq y_n[/tex] для всех натуральных чисел [tex]n[/tex], то [tex]lim_{n to infty} x_n leq lim_{n to infty} y_n[/tex].
Обоснование: При анализе пределов последовательностей, если значение каждого элемента [tex]x_n[/tex] не превышает соответствующего элемента [tex]y_n[/tex], то предел [tex]x_n[/tex] не превысит предела [tex]y_n[/tex].

2. Если [tex]lim_{n to infty}(x_n — y_n) = 0[/tex], то [tex]lim_{n to infty} x_n = lim_{n to infty} y_n[/tex].
Обоснование: Если разность между соответствующими элементами [tex]x_n[/tex] и [tex]y_n[/tex] стремится к нулю, это означает, что пределы [tex]x_n[/tex] и [tex]y_n[/tex] также должны стремиться к одному и тому же значению.

Пример использования:
Пусть [tex]x_n = frac{1}{n}[/tex] и [tex]y_n = frac{1}{n+1}[/tex]. Тогда можно заметить, что [tex]x_n leq y_n[/tex]. При этом, пределы этих последовательностей равны [tex]lim_{n to infty} x_n = lim_{n to infty} y_n = 0[/tex]. Таким образом, первое утверждение верно.

Совет:
Чтобы лучше понять и запомнить эти утверждения о последовательностях, полезно проводить много примеров и анализировать, как изменяются значения последовательностей при стремлении [tex]n[/tex] к бесконечности.

Упражнение:
Даны две последовательности:
[tex]x_n = frac{1}{n^2}[/tex]
[tex]y_n = frac{1}{n}[/tex]

Определите, верно ли утверждение [tex]x_n leq y_n[/tex] для всех натуральных чисел [tex]n[/tex]. Обоснуйте ваш ответ.