Решите контрольную работу №3 по теме «теорема Фалеса и подобие треугольников» для двух вариантов. 1. В треугольнике НМО со
1. В треугольнике НМО со сторонами МО‖НП, ОП = 20 см, РК = 8 см и МН = 15 см. Найдите отрезок НК.
2. В треугольниках АВС и А1В1С1 соответствующим сторонам AV и AC соответствуют стороны A1V1 и A1C1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если AV = 12 см, AC = 18 см, A1C1 = 18 см и A1C1 = 12 см.
3. В треугольнике АВС, отрезок ВМ является биссектрисой. Зная, что АВ = 30 см, АМ = 12 см и МС = 14 см, найдите сторону ВС.
4. На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D такая, что AD:BD = 5:3. Прямая, проведенная через точку D и параллельная стороне AC треугольника, пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если AC = 16 см.
5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, диагонали пересекаются в точке О. Известно, что ВС = 6 см, AD = 14 см и отрезок ВО на 2 см меньше отрезка OD. Найдите диагональ BD трапеции.
Решите контрольную работу №3 по теме «теорема Фалеса и подобие треугольников» для первого варианта.
1. На рисунке 1 EF‖DC, AE = 40 см, AF = 24 см и FC = 9 см. Найдите отрезок ED.
2. В треугольниках АВС и А1В1С1 соответствующим сторонам AV и BC соответствуют стороны A1V1 и B1C1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если BC = 22 см, AC = 14 см, B1C1 = 33 см и A1B1 = 15 см.
3. В треугольнике АВС отрезок AE является биссектрисой. Зная, что АВ = 32 см, AC = 16 см и CE = 6 см, найдите сторону VE.
4. На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е так, что AE:CE = 2:7. Прямая, проведенная через точку Е и параллельная стороне АВ треугольника, пересекает сторону ВС в точке F. Найдите сторону АВ, если EF = 21 см.
5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Известно, что AO = 10 см и ОС = 4 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 42 см.
1. Объяснение:
Теорема Фалеса гласит, что если через одну сторону треугольника проведена прямая, параллельная другой стороне, то полученные на этой прямой отрезки, соединяющие данную сторону с двумя другими, будут пропорциональны. То есть, если в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ параллельна стороне $CD$, то $frac{AC}{CB}=frac{AD}{DB}$.
Пример использования:
1. В треугольнике $НМО$ со сторонами $МО‖НП$, $ОП=20$ см, $РК=8$ см и $МН=15$ см. Найдите отрезок $НК$.
Решение: Проведем прямую $КС$, параллельную стороне $НМ$. Тогда, по теореме Фалеса, получим:
$$frac{НК}{КМ}=frac{ОП}{МН}=frac{20}{15}=frac{4}{3}$$
Отсюда:
$$НК=frac{4}{3}cdot КМ=frac{4}{3}cdot(КН+НМ)=frac{4}{3}cdot(8+15)=frac{92}{3}approx30,7$$
Ответ: $НКapprox30,7$ см.
2. В треугольниках $АВС$ и $А1В1С1$ соответствующим сторонам $AV$ и $AC$ соответствуют стороны $A1V1$ и $A1C1$. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если $AV=12$ см, $AC=18$ см, $A1C1=18$ см и $A1B1=12$ см.
Решение: По теореме Фалеса получим:
$$frac{A1C1}{AC}=frac{A1V1}{AV}$$
Отсюда:
$$A1V1=frac{AVcdot A1C1}{AC}=frac{12cdot18}{18}=12$$
Так как треугольники $АВС$ и $А1В1С1$ подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
$$frac{A1B1}{AB}=frac{A1C1}{AC}=frac{12}{18}=frac{2}{3}$$
Отсюда:
$$AB=frac{3}{2}cdot A1B1=frac{3}{2}cdot12=18$$
Ответ: $A1V1=12$ см, $AB=18$ см.
2. Советы:
— Не забывайте, что в подобных треугольниках соответствующ