Сергей разделил некоторое натуральное число на 6, затем на 7 и на 8. В каждом случае он получил остаток, сумма
Инструкция: Для решения этой задачи требуется использовать метод Китая. Метод Китая — это метод, который позволяет решить систему уравнений вида:
x = a1 mod n1
x = a2 mod n2
…
x = ak mod nk
где a1, a2, …, ak и n1, n2, …, nk — целые числа, а n1, n2, …, nk — попарно взаимно простые числа.
Для решения задачи необходимо составить систему уравнений:
x = 0 mod 6
x = 1 mod 7
x = 2 mod 8
Сумма остатков равна 18, поэтому:
0 + 1 + 2 = 3 mod 18
Теперь мы можем записать систему уравнений вида:
x = 3 mod 18
x = 0 mod 6
x = 1 mod 7
x = 2 mod 8
Чтобы решить эту систему уравнений методом Китая, мы будем последовательно решать пары уравнений. Сначала решим пару уравнений:
x = 3 mod 18
x = 0 mod 6
Для этого мы можем воспользоваться расширенным алгоритмом Евклида и найти такие числа u и v, что:
18u + 6v = 1
Затем умножим обе части первого уравнения на 6v и обе части второго уравнения на 18u:
6vx = 18u + 3t
18uy = 6v + 0
где t — некоторое целое число. Подставим выражение для 6v из второго уравнения в первое:
6vx = 18u + 3t
6vx = 18u + 3t + 18uy
Сократим 6v:
x = 3u + t + 3uy
Теперь мы можем решить следующую пару уравнений:
x = 3u + t + 3uy
x = 1 mod 7
Для этого мы можем воспользоваться расширенным алгоритмом Евклида и найти такие числа u и v, что:
21u + 7v = 1
Затем умножим обе части первого уравнения на 7v и обе части второго уравнения на 21u:
7vx = 21u + t + 3uy
21uy = 7v + 1
где t — некоторое целое число. Подставим выражение для 7v из второго уравнения в первое:
7vx = 21u + t + 3uy
7vx = 21u + t + 3uy + 21uy
Сократим 7v:
x = 3u + t