1. Докажите, что точки A(1;1;2), B(4;5;-8), C(2;-1;0) и D(-1;-5;10) образуют параллелограмм. 2. Даны точки A(2;-8;1

Объяснение:
Для того чтобы доказать, что точки A(1;1;2), B(4;5;-8), C(2;-1;0) и D(-1;-5;10) образуют параллелограмм, мы должны проверить выполняются ли следующие условия:
1. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
2. Векторы, образованные парами соседних вершин параллелограмма, равны по модулю и противоположны по направлению.

Шаги решения:
1. Найдем векторы AB и CD:
AB = B — A = (4-1; 5-1; -8-2) = (3; 4; -10)
CD = D — C = (-1-2; -5+1; 10-0) = (-3; -4; 10)

2. Найдем векторы AC и BD:
AC = C — A = (2-1; -1-1; 0-2) = (1; -2; -2)
BD = D — B = (-1-4; -5-5; 10+8) = (-5; -10; 18)

3. Проверим, делят ли диагонали друг друга пополам:
Найдем середину MN диагонали AC:
MN = (A + C) / 2 = ((1+2)/2; (1-1)/2; (2+0)/2) = (3/2; 0; 1)
Найдем середину PR диагонали BD:
PR = (B + D) / 2 = ((4-1)/2; (5-5)/2; (-8+10)/2) = (3/2; 0; 1)
Так как MN = PR, диагонали делят друг друга пополам.

4. Проверим, равны ли по модулю и противоположны по направлению векторы AB и CD:
Проверим, равны ли по модулю векторы AB и CD:
|AB| = √(3^2 + 4^2 + (-10)^2) = √(9 + 16 + 100) = √125
|CD| = √((-3)^2 + (-4)^2 + 10^2) = √(9 + 16 + 100) = √125
Как видим, |AB| = |CD|

Проверим, противоположны ли по направлению векторы AB и CD:
AB*(-1) = (-3; -4; 10)
Как видим, AB*(-1) = CD

Таким образом, выполняются все условия параллелограмма, и точки A(1;1;2), B(4;5;-8), C(2;-1;0) и D(-1;-5;10) образуют параллелограмм.

Совет:
Для упрощения решения подобных задач рекомендуется разбить их на несколько этапов. Сначала найдите векторы, образованные парами соседних вершин параллелограмма. Затем проверьте условия параллелограмма, включая деление диагоналей пополам и равенство векторов по модулю и направлению.

Упражнение:
Найдите векторы AC и BD для точек A(3; -2; 4), B(1; 0; -2), C(2; -1; 1) и D(-1; -3; 6). Докажите, что эти точки образуют параллелограмм.