Сколько натуральных делителей числа 15^9 можно выделить, которые являются точными квадратами, точными кубами или и тем

Описание: Чтобы решить первую задачу, нам нужно разбить число 15^9 на простые множители и использовать свойства степеней. Число 15^9 можно представить в виде (3^9) * (5^9). Чтобы найти количество делителей, являющихся точными квадратами, мы возведем каждую степень простого множителя в двойку. Затем нам нужно взять каждый степенной показатель и добавить 1, после чего перемножить результаты. В данном случае, (9+1)*(9+1) = 100.
Аналогичным образом, мы находим количество делителей, являющихся точными кубами, посчитав число возможных комбинаций, где каждый степенной показатель для степени 5 будет умножен на 1, 2 и 3 и каждый степенной показатель для степени 3 будет умножен на 1 и 2: (3+1)*(2+1) = 12.
Применяем те же шаги, чтобы найти количество делителей, являющихся и точными квадратами, и точными кубами: (6+1) * (4+1) = 35.

Чтобы решить вторую задачу, мы знаем, что периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, а площадь — произведению его длины и ширины. Мы можем создать пропорцию между периметром прямоугольника и его площадью и решить ее. В данной задаче, у нас есть, что периметр равен 7/6 раз больше, чем площадь. Пусть сторона прямоугольника равна x, тогда периметр будет равен 2*(x+1) + 2*(1) = 4x + 4, а площадь будет равна x * 1 = x. Мы можем записать уравнение: 4x + 4 = (7/6)*x. Теперь решим его:
4x + 4 = (7/6)x.
6*(4x + 4) = 7x.
24x + 24 = 7x.
24x — 7x = -24.
17x = -24.
x = -24/17.

Пример использования:
1. Для первой задачи:
Количество делителей числа 15^9, являющихся точными квадратами, точными кубами или и тем, и другим, равно 35.
2. Для второй задачи:
Строим прямоугольник с длиной стороны -24/17 и находим его периметр и площадь.

Совет:
— Для раздела с делителями числа, вы можете использовать свойства степеней и знание о делителях простых чисел, чтобы упростить вычисления.
— Для пропорций и пропорциональных задач, помните, что периметр равен сумме длин сторон, а площадь — произведению длины и ширины.

Упражнение:
1. Сколько натуральных делителей числа 21^5 можно выделить, которые являются точными квадратами, точными кубами или и тем, и другим?
2. Дан прямоугольник со сторонами a и b. Периметр составляет 38, а площадь равна 120. Найдите значения сторон a и b.