1. Сколько информационных символов содержится в коде, который может исправить одиночную ошибку для N=32 информационных
2. Какова избыточность корректирующего кода при общем числе кодовых комбинаций N=256?
3. Каково десятичное значение двоичного числа кодов после применения правила четности: 010101100011, 111110001100 и 000010001010?
5. Как закодировать последовательность 10011010 с помощью кода Хэмминга?
1. В задаче дано, что код может исправить одиночную ошибку для N = 32 информационных комбинаций. Чтобы определить количество информационных символов в коде, нужно использовать формулу для корректирующего кода с одиночной ошибкой:
N = 2^k — k — 1,
где N — количество информационных символов, k — количество проверочных (корректирующих) символов.
Решим уравнение для k:
N + k + 1 = 2^k,
k + 1 = 2^k — N,
2^k — k — 1 = N.
Подставляя N = 32 в уравнение, получаем:
2^k — k — 1 = 32.
Используя таблицу значений, можно определить, что для k = 6 выполняется равенство:
2^6 — 6 — 1 = 32.
Значит, в данном коде содержится 32 информационных символа.
2. В данном случае общее число кодовых комбинаций N = 256. Избыточность корректирующего кода можно найти по формуле:
R = N / (N — k),
где R — избыточность кода, N — общее число кодовых комбинаций, k — количество проверочных (корректирующих) символов.
Подставляя N = 256, получаем:
R = 256 / (256 — k).
Для нахождения избыточности корректирующего кода в данном случае нужно найти значение k, подставить его в формулу и вычислить R.
3. Для нахождения десятичного значения двоичного числа кода после применения правила четности, нужно посчитать количество единиц в каждом коде. Если количество единиц четное, бит четности равен 0, иначе равен 1.
Для кода 010101100011: количество единиц = 6, поэтому бит четности = 0.
Для кода 111110001100: количество единиц = 8, поэтому бит четности = 0.
Для кода 000010001010: количество единиц = 4, поэтому бит четности = 1.
4. Для кодирования последовательности 10011010 с помощью кода Хэмминга необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Определение количества проверочных (корректирующих) символов, k, по формуле 2^k >= k + n + 1, где n — количество информационных символов. В данном случае n = 8, поэтому k = 4.
Шаг 2: Размещение информационных символов в позициях, которые могут иметь значение 2^k, где k — номер проверочного символа. В данном случае информационные символы располагаются на позициях 3, 5, 6 и 7.
Шаг 3: Вычисление значений проверочных символов с помощью простой формулы: значение проверочного символа равно XOR (исключающее ИЛИ) значений информационных символов, находящихся на позициях, где двоич представление позиции содержит 1, например, для первого проверочного символа позиции 1, 3, 5, 7.
Шаг 4: Размещение вычисленных значений проверочных символов на соответствующих позициях.
Полученная кодированная последовательность будет состоять из 12 символов: 0 — проверочный символ, 1, 0, 0 и 1 — информационные символы, 1, 1, 1, 0 и 1 — проверочные символы.
Совет: Для понимания и решения поставленных задач по корректирующим кодам полезно ознакомиться с основными концепциями кодов Хэмминга и правилами работы с двоичными числами.
Упражнение: Сколько информационных символов содержится в коде, который может исправить одиночную ошибку для N = 64 информационных комбинаций? Определите избыточность корректирующего кода при общем числе кодовых комбинаций N = 128. Посчитайте биты четности для двоичных чисел кодов: 10101011, 11001100, 11110000.