Найдите значения x, для которых неравенство 8x^2 + 24x ≥ 0 выполняется

Описание: Для решения неравенства 8x^2 + 24x ≥ 0, мы должны найти значения x, при которых это неравенство выполняется. Чтобы сделать это, нам нужно выяснить, когда выражение 8x^2 + 24x равно нулю и когда оно положительно или отрицательно.

Чтобы найти значения x, при которых 8x^2 + 24x = 0, нам нужно решить это уравнение. Можно заметить, что уравнение имеет общий множитель x, поэтому можно вынести его за скобки:

x(8x + 24) = 0

Теперь у нас есть два множителя, и чтобы получить ноль, хотя бы один из них должен быть равен нулю. Таким образом, возможны два случая:

1. x = 0
2. 8x + 24 = 0

В первом случае значение x равно 0, что дает нам одно решение.

Во втором случае мы решаем уравнение 8x + 24 = 0, вычитая 24 из обоих сторон:

8x = -24
x = -24/8
x = -3

Таким образом, у нас есть два значения x, когда 8x^2 + 24x = 0: x = 0 и x = -3.

Для определения того, когда неравенство 8x^2 + 24x ≥ 0 выполняется, мы должны проанализировать знак выражения 8x^2 + 24x для разных значений x. При этом можем воспользоваться методом интервалов, который основан на анализе знака выражения на каждом из интервалов разбиения числовой оси.

Выражение 8x^2 + 24x можно записать в виде произведения:
8x^2 + 24x = 8x(x + 3)

Мы знаем, что когда произведение двух чисел положительно, оба числа должны быть положительными или оба отрицательными. Следовательно, для выполнения неравенства 8x^2 + 24x ≥ 0, either (x ≥ 0 and x + 3 ≥ 0) or (x ≤ 0 and x + 3 ≤ 0).

Подходящими значениями x, удовлетворяющими неравенству, являются:

1. x ≥ -3/2
2. x ≤ 0

Совмещая эти два интервала, мы получаем x ≤ 0 или x ≥ -3/2.

Совет: Чтобы легче понять решение неравенства, полезно использовать график функции, представленной в неравенстве. Это поможет визуализировать области, в которых функция является положительной или отрицательной.

Упражнение: Решить неравенство 3x^2 — 5x > 0.