Какова производная функции f(x)√(-x^2+5x-4) при 1<x<4?
Описание: Производная функции измеряет ее скорость изменения в каждой точке. Для нахождения производной функции f(x)√(-x^2+5x-4) при 1 < x < 4, мы воспользуемся правилом производной для произведения функций и цепного правила.
Шаг 1: Найдем производную √(-x^2+5x-4). Для этого воспользуемся цепным правилом.
Пусть u = -x^2+5x-4, тогда √u = u^0.5. Производная √u будет равная:
du/dx = d(u^0.5)/dx = (0.5*u^(-0.5)) * du/dx = (0.5 * √u) * (-2x+5).
Шаг 2: Найдем производную функции f(x). Мы знаем, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую, плюс произведение первой функции на производную второй функции.
f(x) = √(-x^2+5x-4)
f'(x) = (0.5 * √(-x^2+5x-4)) * (-2x+5).
Пример использования: Найдем производную функции f(x) = √(-x^2+5x-4) при x = 2.
f'(2) = (0.5 * √(-2^2+5*2-4)) * (-2*2+5)
= (0.5 * √(4+10-4)) * (-4+5)
= (0.5 * √10) * 1
= 0.5√10.
Совет: Для лучшего понимания производных и их вычисления рекомендуется изучать основные правила производных, такие как производная константы, производная степенной функции, правило суммы и разности, правило произведения и правило цепной дроби.
Дополнительное задание: Найдите производную функции g(x) = x^3 + 2x^2 — 5x + 1 при x = 3.