Каково уравнение сферы с диаметром AB, где A(-3;5;0) и B(1,-7,2)?

Объяснение:
Уравнение сферы задается в виде ((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2), где ((x_0, y_0, z_0)) — координаты центра сферы, а (r) — радиус сферы.
Чтобы найти уравнение сферы с диаметром AB, нужно сначала найти координаты его центра.

Шаг 1: Найдем координаты центра сферы:
С помощью формулы для нахождения средней точки между двумя точками, найдем среднюю точку между A(-3, 5, 0) и B(1, -7, 2):
(x_0 = frac{{x_A + x_B}}{2} = frac{{-3 + 1}}{2} = -1),
(y_0 = frac{{y_A + y_B}}{2} = frac{{5 — 7}}{2} = -1),
(z_0 = frac{{z_A + z_B}}{2} = frac{{0 + 2}}{2} = 1).

Таким образом, координаты центра сферы равны (-1, -1, 1).

Шаг 2: Найдем радиус сферы:
Радиус сферы равен половине длины диаметра, поэтому необходимо вычислить расстояние между точками A и B:
(r = sqrt{{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2 + (z_B — z_A)^2}} = sqrt{{(1 — (-3))^2 + (-7 — 5)^2 + (2 — 0)^2}} = sqrt{{4^2 + (-12)^2 + 2^2}} = sqrt{{16 + 144 + 4}} = sqrt{{164}}).

Шаг 3: Запишем окончательное уравнение сферы:
((x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z — 1)^2 = 164).

Пример использования:
Уравнение сферы с диаметром AB, где A(-3, 5, 0) и B(1, -7, 2), имеет вид ((x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z — 1)^2 = 164).

Совет:
Чтобы лучше понять уравнение сферы, полезно повторить материал о координатах точек в пространстве и формуле для нахождения расстояния между двумя точками.

Упражнение:
Найдите уравнение сферы с данным диаметром и точкой центра:
Диаметр CD, где C(2, -1, 3) и D(6, 4, -2). Найдите уравнение сферы с центром E(-2, 1, 4).