Найдите значения sin α и cos α для заданных координат точки α на единичной окружности: а) (1/2; √3/2) б) (√3/2; -1/2
Пояснение:
Для решения задачи нам необходимо найти значения синуса и косинуса угла α, представленного в виде координат точки на единичной окружности.
1. Для точки α с координатами (1/2; √3/2):
Пусть угол α образуется с положительным направлением оси Ox. Изобразим единичную окружность и проведем радиус к точке α.
Так как координата x точки α равна 1/2, а координата y равна √3/2, то треугольник OαA будет прямоугольным с противолежащим катетом √3 и гипотенузой 1. С помощью теоремы Пифагора находим второй катет:
Aα² = 1² — (√3)²
Aα² = 1 — 3
Aα = √(-2)
Но у нас нет смысла рассматривать отрицательные значения корня, так как это нарушает условие задачи. Поэтому Aα = √2.
Теперь мы можем вычислить значения синуса и косинуса угла α:
sin α = Aα / OA = √2 / 1 = √2
cos α = Oα / OA = 1/2 / 1 = 1/2
2. Для точки α с координатами (√3/2; -1/2):
Пусть угол α образуется с положительным направлением оси Ox. Изобразим единичную окружность и проведем радиус к точке α.
Так как координата x точки α равна √3/2, а координата y равна -1/2, то треугольник OαA будет прямоугольным с противолежащим катетом 1 и гипотенузой 1.5. С помощью теоремы Пифагора находим второй катет:
Aα² = 1.5² — 1²
Aα² = 2.25 — 1
Aα = √1.25 ≈ 1.12.
Теперь мы можем вычислить значения синуса и косинуса угла α:
sin α = Aα / OA = 1.12 / 1 = 1.12
cos α = Oα / OA = -0.5 / 1 = -0.5
Пример использования:
Задача: Найдите значения sin α и cos α для точки α с координатами (2/3; -√5/3) на единичной окружности.
Совет:
Для понимания косинуса и синуса на единичной окружности поможет визуализация. Вы можете нарисовать единичную окружность и отметить точку с заданными координатами. Затем проведите радиус из начала координат к этой точке и используйте теорему Пифагора для решения треугольника.
Упражнение:
Найдите значения sin α и cos α для точки α с координатами (-1/2; -√3/2) на единичной окружности.