Где находится точка максимума функции y=ln{(x+7)^3} + ln{7^3} — x — 7?
Описание: Чтобы найти максимальное значение функции, нужно найти точку на графике функции, в которой значение y будет максимальным. Для этого мы должны найти точку, в которой производная функции равна нулю или ее значение не существует.
Дано уравнение функции: y = ln((x+7)^3) + ln(7^3) — x — 7
Чтобы упростить это уравнение, используем свойства логарифма:
y = 3ln(x+7) + 3ln7 — x — 7
Для определения максимального значения функции, найдем ее производную:
y’ = 3/(x+7) -1
Установим производную равной нулю:
3/(x+7) — 1 = 0
3/(x+7) = 1
Умножим обе стороны на (x+7):
3 = x + 7
Вычтем 7 из обоих частей:
x = -4
Таким образом, точка максимума функции находится при x = -4.
Для нахождения значения y в этой точке, подставим x = -4 в исходное уравнение:
y = ln((-4+7)^3) + ln(7^3) — (-4) — 7
y = ln(27) + ln(343) + 4 — 7
y ≈ 7,60
Таким образом, точка максимума функции находится при x = -4 и y ≈ 7,60.
Совет: Для решения таких задач лучше всего знать основные свойства функций, в том числе свойства логарифмов. Изучение этих свойств поможет вам упростить уравнение и найти его производную. Имейте в виду, что максимальное значение функции может быть найдено в точке, где производная равна нулю или ее значение не существует.
Дополнительное задание: Найдите минимальное значение функции y = ln(x^2 + 1) — x + 4.