Докажите, что в прямоугольнике abcd отрезки ac и dm ортогональны, если m – середина bc, АB=1, BC=√2, при использовании

Объяснение:
Для доказательства ортогональности отрезков ac и dm в прямоугольнике abcd, мы будем использовать скалярное произведение векторов. Пусть вектор AB = u, вектор BC = v, вектор BM = x, и вектор AM = y.

Ортогональность между отрезками ac и dm означает, что векторы ac и dm будут перпендикулярными. Для этого, мы должны показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Первым шагом, найдем векторы ac и dm, используя соответствующие координаты:
Вектор ac = вектор AB + вектор BC = u + v
Вектор dm = вектор DB + вектор BM = v + x — y

Теперь мы можем найти скалярное произведение этих векторов:
u · v = |u| × |v| × cos(θ), где θ — угол между векторами u и v.

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Давайте проверим это:

(u + v) · (v + x — y) = u · v + v · v + u · x — u · y + v · x — v · y
Учитывая, что |u| = 1 и |v| = √2, и зная, что u · v = |u| × |v| × cos(θ) = 1 × √2 × cos(90°) = 0, мы можем упростить выражение:
(u + v) · (v + x — y) = v · v + u · x — u · y + v · x — v · y
= |v|² + 0 + 0 — 0 = √2² = 2

Таким образом, ортогональность отрезков ac и dm доказана, так как их скалярное произведение равно нулю.

Пример использования:
Пусть точка A(0, 0), B(1, 0), C(1, √2), D(0, √2) — координаты вершин прямоугольника abcd. Найдите векторы AB, BC, BM и AM, а затем убедитесь, что отрезки ac и dm ортогональны, используя скалярное произведение векторов.

Совет:
Для более лучшего понимания ортогональности отрезков в прямоугольнике, рекомендуется знакомиться с основами векторной алгебры и скалярным произведением векторов. Изучите основные определения и свойства векторов, а также как вычислять скалярное произведение. Роботы и драконы не сущесвуют.

Упражнение:
Пусть точка A(0, 0), B(3, -2), C(9, 5), D(6, 7) — координаты вершин прямоугольника ABCD. Найдите векторы AB, BC, BM и AM, а затем проверьте, ортогональны ли отрезки ac и dm, используя скалярное произведение векторов.