а) Докажите, что MH и NH взаимно перпендикулярны. б) Пусть P — точка пересечения AC и NH; Q — точка
б) Пусть P — точка пересечения AC и NH; Q — точка пересечения BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если известно, что AH = 72 и BH = 36.
а) Перепишите утверждения и этапы доказательства следующим образом: AM равен [чему-то], BN равен [чему-то].
б) Найдите площадь треугольника PQM. Варианты ответов: 1) 19442√2, 2) 58322√2, 3) 19443√3, 4) 5832.
Пояснение: Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC. Дано, что точка H — основание высоты, проведенной из вершины С на гипотенузу AB. Мы должны доказать, что отрезки MH и NH являются взаимно перпендикулярными.
Доказательство состоит из двух этапов:
1) Сначала нам нужно доказать, что четырехугольник ANHB является вписанным. Для этого, рассмотрим углы треугольника ABC: ∠ABC (прямой угол), ∠CAB и ∠BCA. Точка H лежит на высоте, значит, AH и HB — это высоты и перпендикулярны сторонам треугольника. Следовательно, ∠HAB = ∠HBA (вертикальные углы). Соответственно, ANHB — вписанный четырехугольник.
2) Затем мы докажем, что отрезки MH и NH перпендикулярны. Для этого нам понадобится знание свойств вписанного угла. Из уточнения в задаче мы знаем, что точка P — точка пересечения AC и NH, а точка Q — точка пересечения BC и MH. Так как четырехугольник ANHB является вписанным, то ∠APB = ∠AHB. Мы также знаем, что AH = 72 и BH = 36. Используя формулу площади треугольника как (1/2) * основание * высота, мы можем найти площадь треугольника PQM.
Пример использования:
а) AM равен 72, т.к. AM является высотой треугольника ABC из вершины A.
BN равен 36, т.к. BN является высотой треугольника ABC из вершины B.
б) Чтобы найти площадь треугольника PQM, мы должны знать его высоту и основание. Высота PQM — это AH = 72. Найдем основание. Заметим, что треугольник AMP и треугольник BQN подобны, так как углы при основаниях подобны (∠AMP = ∠BQN = 90° — прямые углы), и углы при вершинах равны (так как MH и NH — это высоты). Следовательно, отношение длин оснований равно отношению длин высот: AM/BN = PQ/QM. Подставляя известные значения, получаем: 72/36 = PQ/QM. Отсюда PQ/QM = 2. Теперь мы можем использовать формулу площади треугольника: Площадь PQM = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 2 * 72 = 72.
Совет: При решении таких задач полезно использовать свойства вписанных углов и подобия треугольников для нахождения соотношений между сторонами треугольников.
Задание: Какие выводы можно сделать о свойствах высот треугольника, их пересечениях и площади треугольника, исходя из данной задачи?