а) Докажите, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1, отсчитывая от
б) Найдите объем тела, заключенного между боковыми поверхностями этих конусов, если известно, что сумма высот обоих конусов равна 4.
Объяснение:
Для доказательства того, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса в отношении 2:1, отсчитывая от вершины большего конуса, воспользуемся подобием треугольников.
Рассмотрим два конуса. Пусть h1 и h2 — высоты меньшего и большего конусов соответственно, а V1 и V2 — объемы данных конусов.
Первым шагом докажем, что отношение объемов V1 и V2 равно отношению кубов высот соответствующих конусов, т.е. V1/V2 = (h1/h2)^3.
Объем конуса определяется формулой V = (1/3) * π * r^2 * h, где r — радиус основания, h — высота конуса.
Теперь установим соответствующие значения h1 и h2 для кубирования. Предположим, что h1/h2 = x. Тогда высота меньшего конуса h1 = x, а высота большего конуса h2 = 2x.
Подставим эти значения в формулу и получим: V1/V2 = (h1/h2)^3 = (x/2x)^3 = (1/2)^3 = 1/8.
Далее, найдем объем тела между боковыми поверхностями конусов. Общий объем можно вычислить как разность объемов большего и меньшего конусов: V = V2 — V1.
Известно, что сумма высот обоих конусов равна 4: h1 + h2 = 4. Подставим значение h2 = 2x и решим уравнение: x + 2x = 4. Получаем x = 1, а значит h1 = 1 и h2 = 2.
Теперь можем подставить значения в формулу объема и решить: V = (1/3) * π * r2^2 * h2 — (1/3) * π * r1^2 * h1.
Разбор решения:
a) Доказательство проводится с использованием подобия треугольников и формулы объема конуса.
б) Расчет объема тела проводится путем вычитания объема меньшего конуса из объема большего конуса с использованием уже известных значений высот.
Пример использования:
а) Для доказательства данного факта можно воспользоваться геометрической моделью и дополнительным материалом, чтобы наглядно показать, что отношение высот конусов составляет 2:1.
б) Найдите объем тела, заключенного между двумя конусами, если r1 = 3 и r2 = 6.
Совет:
При решении геометрических задач с конусами помните формулу объема конуса V = (1/3) * π * r^2 * h. Используйте геометрические модели и рисунки, чтобы получше понять задачу. В данном случае, подобие треугольников является важным концептом для этой задачи.
Упражнение:
а) Верно ли утверждение: если высота большего конуса равна 8, то высота меньшего конуса будет равна 4?
б) Найдите объем тела, заключенного между боковыми поверхностями конусов, если радиусы оснований равны 5 и 10 соответственно, а сумма высот конусов равна 12.