a) Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Углы, образованные наклонной с ее проекцией и с
б) Ребро АС тетраэдра АВСD перпендикулярно к плоскости грани ВСD, отрезок АН — высота грани АВD. Каково значение угла ВНС?
3. Справедливо ли утверждение?
а) ЕD перпендикулярно АС, если треугольник ABC является равносторонним, то ОЕ перпендикулярно (ABC).
б) ОF перпендикулярно ЕF, если шестиугольник ABCDEF является правильным, и ОВ перпендикулярно (ABF).
4. Решите:
1. В треугольнике МКС, СМ перпендикулярно КМ и не принадлежит плоскости МКС, а ЕМ перпендикулярно МК. Чему равно:
а) КМ(МЕС)?
б) КМСЕ?
2. В треугольнике АВС, АВ = 16 см, А = 30°, ВК перпендикулярно (ABC). Расстояние от К до АС равно 17 см. Найдите ВК.
3. В треугольнике АВС, С = 90°, АС = 8 см, ВС = 6 см. СD перпендикулярно (ABC). Найдите CD, если расстояние от D до АВ равно 5 см.
Разъяснение:
1. а) Пусть угол между наклонной и ее проекцией на плоскость равен α. Также угол между наклонной и перпендикуляром равен α. Задача требует найти угол между наклонной и плоскостью. Поскольку перпендикуляр к плоскости и его проекция на плоскость образуют прямой угол, то угол между плоскостью и ее проекцией равен 90°. Таким образом, угол между наклонной и плоскостью равен 90° — α.
б) Угол ВНС равен углу между ребром АС и гранью ВСD тетраэдра. Поскольку ребро АС перпендикулярно к грани ВСD, то угол ВНС равен 90°.
3. а) Утверждение справедливо. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и ОЕ — высота, проведенная из вершины треугольника. Вертикальные углы, образованные прямой и высотой, всегда равны, поэтому ЕD перпендикулярно к АС.
б) Утверждение неверно. Пусть ОВ перпендикулярно (ABF). Тогда ОВ перпендикулярно к двум сторонам шестиугольника, а значит, должно быть перпендикулярно к плоскости, в которой лежит шестиугольник. Однако это несовместимо с тем, что шестиугольник ABCDEF является правильным.
4. a) a) Дано, что СМ перпендикулярно КМ. Это означает, что угол КСМ равен 90°. Решение зависит от постановки задачи и доступных данным. Более подробная информация или условие задачи позволит нам решить ее полностью.
Совет:
— В задачах с перпендикулярными и наклонными линиями в пространстве внимательно изучайте заданную информацию и используйте соответствующие свойства углов и перпендикулярности.
— Рисуйте схемы или делайте пометки, чтобы визуализировать геометрические фигуры и ситуации.
Практика:
Решите задачу: В равностороннем треугольнике АВС точка М лежит на стороне ВС, причем СМ перпендикулярно к АВ. Найдите угол МСА.