а) Какова длина медианы СД треугольника авс, если известны его вершины: А(0;3;4), В(4;-1;2), С(1 ;1;2)? б) Треугольник
б) Треугольник АВС является ли прямоугольным, если известны его вершины: А(0;3;4), В(4;-1;2), С(1 ;1;2)?
Разъяснение:
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для решения первой задачи нам нужно найти середину стороны СД и затем вычислить длину медианы СД.
а) Для нахождения середины стороны СД, мы используем формулу средней точки, которая находит среднюю координату для каждой из трех осей (x, y, z). Формула средней точки:
(xсред) = (x1 + x2) / 2
(yсред) = (y1 + y2) / 2
(zсред) = (z1 + z2) / 2
Используя данную формулу, мы можем вычислить середину стороны СД:
(xсред) = (1 + 4) / 2 = 2.5
(yсред) = (1 + (-1)) / 2 = 0
(zсред) = (2 + 2) / 2 = 2
Мы нашли середину стороны СД, которая имеет координаты (2.5, 0, 2).
Чтобы найти длину медианы СД, мы используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((x2 — x1)² + (y2 — y1)² + (z2 — z1)²)
Подставляя значения координат вершины С и середины стороны СД в формулу расстояния, мы получаем:
d = √((2.5 — 1)² + (0 — 1)² + (2 — 2)²)
= √(1.5² + (-1)² + 0²)
= √(2.25 + 1 + 0)
= √3.25
≈ 1.8
Таким образом, длина медианы СД треугольника АВС составляет около 1.8 единицы.
б) Для проверки прямоугольности треугольника АВС можно использовать теорему Пифагора. Если квадрат самого длинного из трех отрезков будет равен сумме квадратов двух других отрезков, то треугольник является прямоугольным.
Для нашего треугольника АВС, находим длины трех сторон АВ, ВС и АС, и проверяем выполнение теоремы Пифагора:
AB = √((4 — 0)² + (-1 — 3)² + (2 — 4)²)
= √(16 + 16 + 4)
= √36
= 6
BC = √((1 — 4)² + (1 — (-1))² + (2 — 2)²)
= √(9 + 4 + 0)
= √13
AC = √((1 — 0)² + (1 — 3)² + (2 — 4)²)
= √(1 + 4 + 4)
= √9
= 3
Таким образом, задача включает нахождение дистанций между точками, нахождения середины отрезка, использования формулы расстояния и применения теоремы Пифагора для проверки прямоугольности треугольника АВС.
Совет:
Для более легкого понимания и решения задач, вы можете использовать графическое представление треугольника на координатной плоскости и использовать правила и формулы для нахождения расстояний и проверки прямоугольности треугольника.
Дополнительное задание:
На плоскости даны вершины треугольника АВС: А(2;6), В(8;4), С(4;2).
а) Найдите длину медианы AB.
б) Проверьте, является ли треугольник АВС прямоугольным.