a) Подтвердите перпендикулярность отрезка MN к отрезку CB1 в данном прямоугольном параллелепипеде

Разъяснение:
а) Чтобы доказать, что отрезок MN перпендикулярен отрезку CB1, нам нужно показать, что их векторы направлены под прямым углом друг к другу.

Возьмем векторы MN и CB1:
MN = N — M = (3 — 4, 0 — 0, 0 — 0) = (-1, 0, 0)
CB1 = B1 — C1 = (0 — 0, 0 — 0, 1 — 1) = (0, 0, 0)

Заметим, что вектор CB1 равен нулевому вектору, а нулевой вектор перпендикулярен любому вектору в пространстве.

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов MN и CB1:
MN · CB1 = (-1)(0) + (0)(0) + (0)(0) = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы MN и CB1 перпендикулярны друг другу.

б) Чтобы определить угол между прямой MN и плоскостью, содержащей грань BB1C1C, нам нужно найти угол между вектором, параллельным прямой MN, и вектором, перпендикулярным плоскости BB1C1C.

Вектор, параллельный прямой MN, это снова вектор MN = (-1, 0, 0).

Для нахождения вектора, перпендикулярного плоскости BB1C1C, мы можем взять векторное произведение векторов BB1 и BC1:

BB1 = B1 — B = (0 — 0, 1 — 0, 0 — 0) = (0, 1, 0)
BC1 = C1 — B = (0 — 0, 1 — 0, 1 — 0) = (0, 1, 1)

BB1 × BC1 = (0)(1) — (1)(0), (0)(0) — (0)(1), (1)(1) — (0)(1) = (0, 0, 1)

Таким образом, вектор, перпендикулярный плоскости BB1C1C, равен (0, 0, 1).

Теперь мы можем найти угол между векторами MN и (0, 0, 1) с помощью формулы скалярного произведения:

cos θ = (MN · (0, 0, 1)) / (|MN| * |(0, 0, 1)|) = (0)/(|MN| * 1) = 0

Таким образом, угол между прямой MN и плоскостью, содержащей грань BB1C1C, равен 90 градусов.

Пример использования:
a) Доказать, что отрезок MN перпендикулярен отрезку CB1 в данном прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AD = 2, AA1 = 4, и AB = 2/15. Точка M является серединой ребра C1D1, а точка N расположена на ребре AA1 с условием AN = 3.

Совет: При работе с геометрическими задачами полезно использовать координатную геометрию, чтобы найти векторы, скалярные и векторные произведения и вычислить углы.

Задание для закрепления: Определите, находится ли прямая MN в данном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 в той же плоскости, что и грань AA1B1C1D1. Если нет, то найдите угол между ними.