Determine the maximum value of the function y=3cosx +cos3x/5 within the interval (-π/2;π/2

Объяснение:
Чтобы найти максимальное значение функции на заданном интервале, вам потребуется некоторый анализ функции и использование производной. Для данной задачи функция представлена уравнением y = 3cos(x) + cos(3x)/5.

Поскольку интервал задан как (-π/2;π/2), вам нужно найти экстремумы функции в этом интервале. Для этого найдем производную функции, равную:

y’ = -3sin(x) — (3sin(3x)/5)

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю. Найдем sin(x) = 0 и sin(3x) = 0:

1) sin(x) = 0
x_1 = 0

2) sin(3x) = 0
3x_2 = nπ (где n — любое целое число)
x_2 = nπ/3

Теперь проверим значения y’ на возрастание и убывание на интервале (-π/2;π/2) и найдем максимальное значение функции на этом интервале.

1) Остановимся на промежутке (-π/2;0):
При x = -π/2, y’ = -3sin(-π/2) — (3sin(3*(-π/2))/5) = 3 + 3/5 > 0 (увеличивается)
При x = 0, y’ = -3sin(0) — (3sin(3*0)/5) = 0 (пересечение оси Ox)
Таким образом, функция возрастает на промежутке (-π/2;0).

2) Остановимся на промежутке (0;π/2):
При x = 0, y’ = -3sin(0) — (3sin(3*0)/5) = 0 (пересечение оси Ox)
При x = π/2, y’ = -3sin(π/2) — (3sin(3*(π/2))/5) = -3 — 3/5 < 0 (убывает)
Таким образом, функция убывает на промежутке (0;π/2).

Из полученных результатов видно, что функция имеет локальный максимум при x = 0 на интервале (-π/2;π/2). Подставляя x = 0 в исходное уравнение, получаем:

y = 3cos(0) + cos(3*0)/5 = 3 + 1/5 = 3.2

Таким образом, максимальное значение функции y равно 3.2 на интервале (-π/2;π/2).

Пример использования:
Определите максимальное значение функции y = 3cos(x) + cos(3x)/5 на интервале (-π/2;π/2).

Совет:
Чтобы лучше понять эту задачу, важно знать, как влияют значения синуса и косинуса на поведение функции. Регулярная практика решения задач подобного типа поможет вам разобраться с использованием производных и определением экстремумов функции.

Упражнение:
Найдите максимальное значение функции y = 2sin(x) + cos(2x) на интервале (0;2π).