Для якої точки центровані кола (x-1)^2+(y-5)^2=6 і (x+7)^2+(y-9)^2=6 є симетричними?

Пояснение: Пусть у нас есть два круга с центрами A и B, заданные уравнениями (x-1)^2+(y-5)^2=6 и (x+7)^2+(y-9)^2=6 соответственно. Чтобы определить, являются ли эти круги симметричными относительно некоторой точки, мы должны найти такую точку, которая лежит на пересечении оси симметрии обоих кругов.

Для того чтобы найти ось симметрии, мы можем использовать системы уравнений. Сначала мы приравниваем оба уравнения и решаем относительно x:

(x-1)^2 + (y-5)^2 = (x+7)^2 + (y-9)^2

Раскрыв скобки, упростим уравнение:

x^2-2x+1 + y^2-10y+25 = x^2+14x+49 + y^2-18y+81

Отменяем одинаковые члены x^2 и y^2:

-2x+1-10y+25 = 14x+49-18y+81

Сгруппируем и упростим:

-2x-14x-10y+18y = 49-25+81-1

-16x + 8y = 104

Затем мы решаем данное уравнение относительно y:

-16x + 8y = 104

8y = 16x + 104

y = 2x + 13

Таким образом, уравнение y = 2x + 13 определяет ось симметрии для обоих кругов. И, следовательно, точка с координатами (13, 39) является центром симметрии для этих двух кругов.

Пример использования:
Задача: Для кругов (x-3)^2 + (y-7)^2 = 5 и (x+5)^2 + (y-1)^2 = 5 найдите точку симметрии.

Совет: Чтобы лучше понять симметрию кругов, вам может быть полезно нарисовать графики кругов и оси симметрии на координатной плоскости. Это поможет визуализировать, как круги отражаются относительно выбранной точки.

Дополнительное задание: Найдите точку симметрии для кругов с уравнениями (x-2)^2 + (y-4)^2 = 9 и (x+6)^2 + (y-8)^2 = 9.