Геометрия: 1. Найдите координаты точек, которые являются симметричными относительно точек a (7; −9

1. Найдите координаты точек, которые являются симметричными относительно точек a (7; −9) и b (0; 6) относительно:

а) горизонтальной оси:

Чтобы найти координаты точки, симметричной относительно горизонтальной оси относительно точки a (7; -9), мы оставляем x-координату неизменной, а меняем y-координату знаком на противоположный. Таким образом, координаты симметричной точки будут (7; 9).

б) вертикальной оси:

Для нахождения координат точки, симметричной относительно вертикальной оси относительно точки b (0; 6), мы меняем x-координату на противоположную, а y-координату оставляем неизменной. Таким образом, координаты симметричной точки будут (-0; 6), что эквивалентно (0; 6).

в) начала координат:

Чтобы найти координаты точки, симметричной относительно начала координат относительно точки a (7; -9), мы меняем знаки обеих координат на противоположные. Таким образом, координаты симметричной точки будут (-7; 9).

2. Постройте треугольник bcd и найдите его образ в следующих случаях:

а) при параллельном сдвиге на вектор cd:

Для построения образа треугольника bcd при параллельном сдвиге на вектор cd, мы применяем сдвиг координат точек на вектор cd. Таким образом, новые координаты точек будут: b’ (0 + 2; 6 + 1) = (2; 7), c’ (-3 + 2; 9 + 1) = (-1; 10), d’ (-6 + 2; 5 + 1) = (-4; 6).

б) при симметрии относительно точки b:

Для нахождения образа треугольника bcd при симметрии относительно точки b (0; 6), мы заменяем x-координату каждой точки на ее противоположную, а y-координату оставляем неизменной. Таким образом, новые координаты точек будут: b’ (0; 6), c’ (-3; 9), d’ (-6; 5).

в) при симметрии относительно прямой bc:

Для нахождения образа треугольника bcd при симметрии относительно прямой bc, мы заменяем x-координату каждой точки на ее противоположную, а y-координату оставляем неизменной. Таким образом, новые координаты точек будут: b’ (0; 6), c’ (3; 9), d’ (6; 5).

3. Точка c1 (x; -8) является результатом гомотетии точки c (5; y) с центром в h (-3; 1) и коэффициентом k = -14. Найдите значения x и y.

Гомотетия — это преобразование, в результате которого точка умножается на заданный коэффициент масштабирования относительно центра гомотетии. Для нахождения x и y, мы умножаем x-координату точки c на коэффициент k и умножаем y-координату на тот же коэффициент. Таким образом, получаем уравнения: x * k = x * (-14) => x = 5 * (-14) / 1 = -70 и y * k = -8 * (-14) => y = -8 * (-14) / 1 = 112.

Таким образом, значения x и y равны -70 и 112 соответственно.

4. Прямая, параллельная стороне ab треугольника abc:

Чтобы найти уравнение прямой, параллельной стороне ab треугольника abc, мы используем свойство параллельных прямых — они имеют одинаковый наклон. Сначала найдем уравнение стороны ab.

Наклон стороны ab можно получить, используя формулу наклона m = (y2-y1) / (x2-x1), где (x1, y1) и (x2, y2) — это координаты точек на стороне ab. Пусть точка a имеет координаты (x1, y1) = (7, -9) и точка b имеет координаты (x2, y2) = (0, 6).

m = (6 — (-9)) / (0 — 7) = 15 / -7 = -15/7

Таким образом, уравнение прямой, параллельной стороне ab, будет иметь такой же наклон и проходить через любую другую точку, например, точку c с координатами (x, y).

Уравнение выглядит следующим образом: y — y1 = m(x — x1), где (x1, y1) — координаты точки c.

Таким образом, уравнение прямой будет: y — y1 = (-15/7)(x — x1).

Практика:
Найдите координаты точки, которая является симметричной относительно горизонтальной оси относительно точки a (1; -5).