Is the following algebraic expression true: 2log^2 2(cos^2x) + 7log2(cosx) ≥ 1?

Инструкция:
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства логарифма и тригонометрии.

1. Сначала заметим, что у нас есть два значения логарифма: 2log^2 2(cos^2x) и 7log2(cosx).
2. Используем свойства логарифма:
— log^a b^c = c * log^a b
— log^a b + log^a c = log^a (b * c)
3. Применим данные свойства для переписывания выражения:
— 2log^2 2(cos^2x) = log^2 2(cos^2x)^2 = 2log^2 2(cos^4x)
— 7log2(cosx) = log2(cosx)^7
4. Объединим два значения логарифма:
— 2log^2 2(cos^4x) + log2(cosx)^7
5. Теперь мы можем переписать неравенство как:
— log^2 2(cos^4x) + log2(cosx)^7 ≥ 1
6. Используем свойства логарифма:
— log^a b + log^a c = log^a (b * c)
— log^2 2(cos^4x) * log2(cosx)^7 ≥ 1
7. Используем тригонометрические свойства:
— cos^2x = 1 — sin^2x
— cosx = √(1 — sin^2x)
8. Заменяем cosx в логарифмическом выражении:
— log^2 2[(1 — sin^2x)^2] * log2(√(1 — sin^2x))^7 ≥ 1
9. Упрощаем:
— log^2 2(1 — sin^2x)^2 * log2(1 — sin^2x)^7 ≥ 1

Пример использования:
Для заданного выражения, если мы применили все шаги решения, мы получаем:
log^2 2(1 — sin^2x)^2 * log2(1 — sin^2x)^7 ≥ 1

Совет:
Для понимания и использования логарифмических свойств и формул, рекомендуется проработать основные правила и примеры их применения. Также полезно знание тригонометрии и ее основных функций.

Задание:
Решите неравенство: log2(x + 5) ≥ 3.