Как найти решение уравнения 2sin(x+pi/4)=tgx+ctgx?
Объяснение: Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо использовать свойства тригонометрических функций и алгебрейческих преобразований.
1. Сначала преобразуем данное уравнение, чтобы синус и котангенс находились в одной функции. Для этого заменим тангенс и котангенс на соответствующие им выражения через синус и косинус:
2sin(x+pi/4) = tgx + ctgx
2sin(x+pi/4) = (sinx/cosx) + (cosx/sinx)
2. Приведём оба члена уравнения к общему знаменателю:
2sin(x+pi/4) = (sin^2x + cos^2x) / (sinxcosx)
3. Используя тригонометрическую тождественность sin^2x + cos^2x = 1, преобразуем уравнение:
2sin(x+pi/4) = 1 / (sinxcosx)
4. Умножим оба члена уравнения на sinxcosx:
2sin^2(x+pi/4)cosx = 1
5. Применим формулу двойного угла для синуса, sin^2a = (1 — cos2a) / 2, и преобразуем уравнение:
(1 — cos2(x+pi/4))cosx = 1 / 2
6. Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
cosx — cos(2x + pi/4)cosx = 1 / 2
7. Раскроем скобки во втором слагаемом и преобразуем уравнение:
cosx — (cos2xcos(pi/4) — sin2xsin(pi/4))cosx = 1 / 2
cosx — (cos2x * (sqrt(2)/2) — sin2x * (sqrt(2)/2))cosx = 1 / 2
cosx — (cos2x * sqrt(2)/2 — sin2x * sqrt(2)/2)cosx = 1 / 2
8. Умножим оба члена уравнения на 2:
2cosx — (cos2x * sqrt(2) — sin2x * sqrt(2))cosx = 1
9. Раскроем скобки по сумме:
2cosx — cos2x * sqrt(2)cosx + sin2x * sqrt(2)cosx = 1
10. Соберем все члены с cosx:
2cosx^2 — cos2x * sqrt(2)cosx + sin2x * sqrt(2)cosx — 1 = 0
2cosx^2 — cos2x * sqrt(2)cosx + sin2x * sqrt(2)cosx — 1 = 0
11. Проведем алгебраические преобразования, чтобы упростить уравнение:
2cosx^2 — sqrt(2)cos2x * cosx + sqrt(2)sin2x * cosx — 1 = 0
2cosx^2 — sqrt(2)cosx(cos2x — sin2x) — 1 = 0
12. Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной cosx методом дискриминанта или факторизации:
cosx = (sqrt(2)cos2x — sqrt(2)sin2x ± sqrt(2)) / 4
Пример использования: Найдите решение уравнения 2sin(x+pi/4)=tgx+ctgx.
Совет: Для решения тригонометрических уравнений обычно используются свойства тригонометрических функций и алгебраические преобразования. Важно быть внимательным при раскрытии скобок и применении тождественностей тригонометрии. Если возникают сложности, рекомендуется обратиться к учебнику или проконсультироваться с учителем.
Упражнение: Решите уравнение cos(2x) + sqrt(2)cos(x)sin(x) = 1.