Как огородить участок прямоугольной формы, прилегающий к зданию, чтобы максимизировать его площадь при заданном

Пояснение: Чтобы максимизировать площадь прямоугольного участка, необходимо определить его размеры. Предположим, что длина участка равна ‘x’ метрам, а ширина участка равна ‘y’ метрам.

Площадь прямоугольника можно найти по формуле: S = x * y.

У нас также задан периметр, равный 20 метрам. По формуле периметра прямоугольника P = 2x + 2y.

Мы можем выразить ‘y’ через ‘x’, используя формулу периметра:

y = (20 — 2x) / 2 = 10 — x.

Теперь подставим это значение в формулу площади:

S = x * (10 — x) = 10x — x^2.

Теперь воспользуемся производной функции площади, чтобы исследовать ее поведение:

S’ = 10 — 2x.

Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

10 — 2x = 0
2x = 10
x = 5.

Значение ‘x’ равно 5 м, что соответствует длине прямоугольного участка. Подставим его обратно в формулу периметра, чтобы найти значения ‘y’:

y = 10 — x
y = 10 — 5
y = 5.

Таким образом, чтобы максимизировать площадь при заданном периметре 20 м, необходимо построить прямоугольный участок длиной 5 м и шириной 5 м.

Пример использования:
Задача: Какой прямоугольный участок максимальной площади можно огородить вокруг здания при заданном периметре 30 м?
Таким же образом, можно найти решение этой задачи, используя производные.

Совет:
Для успешного решения задач по применению производной для исследования и построения графика функции, важно иметь хорошее представление о том, как находить производные базовых функций и применять правила производных. Если вам необходимо освежить знания о производных, рекомендуется изучить материал по дифференциальному исчислению.

Упражнение: Найдите размеры прямоугольного участка максимальной площади, ограниченного периметром 40 м.